Issolvi {l}{2x+3y=100}{x+y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 100 } \\ { x + y = 42 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=26$$

$$y=16$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+3y=100,x+y=42$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+3y=100$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-3y+100$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+100\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-3y+100.

$$x=-\frac{3}{2}y+50$$

Issostitwixxi -\frac{3y}{2}+50 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+y=42.

$$-\frac{3}{2}y+50+y=42$$

Żid -\frac{3y}{2} ma' y.

$$-\frac{1}{2}y+50=42$$

Naqqas 50 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{2}y=-8$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=16$$

Issostitwixxi 16 għal y f'x=-\frac{3}{2}y+50. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{2}\times 16+50$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'16.

$$x=-24+50$$

Żid 50 ma' -24.

$$x=26$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=26,y=16$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+3y=100,x+y=42$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3}&-\frac{3}{2-3}\\-\frac{1}{2-3}&\frac{2}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-100+3\times 42\\100-2\times 42\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\16\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=26,y=16$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+3y=100,x+y=42$$

Biex tagħmel 2x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$2x+3y=100,2x+2y=2\times 42$$

Issimplifika.

$$2x+3y=100,2x+2y=84$$

Naqqas 2x+2y=84 minn 2x+3y=100 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x+3y-2y=100-84$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3y-2y=100-84$$

Żid 3y ma' -2y.

$$y=100-84$$

Żid 100 ma' -84.

$$y=16$$

Issostitwixxi 16 għal y f'x+y=42. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+16=42$$

Naqqas 16 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=26$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=26,y=16$$