Issolvi {l}{2x+3y=10}{4x+5y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { 4 x + 5 y = 42 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=38$$

$$y=-22$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+3y=10$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-3y+10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Issostitwixxi -\frac{3y}{2}+5 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x+5y=42.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+5y=42$$

Immultiplika 4 b'-\frac{3y}{2}+5.

$$-6y+20+5y=42$$

Żid -6y ma' 5y.

$$-y+20=42$$

Naqqas 20 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-y=22$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=-22$$

Issostitwixxi -22 għal y f'x=-\frac{3}{2}y+5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-22\right)+5$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'-22.

$$x=33+5$$

Żid 5 ma' 33.

$$x=38$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=38,y=-22$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 10+\frac{3}{2}\times 42\\2\times 10-42\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\-22\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=38,y=-22$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Biex tagħmel 2x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\times 5y=2\times 42$$

Issimplifika.

$$8x+12y=40,8x+10y=84$$

Naqqas 8x+10y=84 minn 8x+12y=40 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$8x-8x+12y-10y=40-84$$

Żid 8x ma' -8x. 8x u -8x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$12y-10y=40-84$$

Żid 12y ma' -10y.

$$2y=40-84$$

Żid 40 ma' -84.

$$2y=-44$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=-22$$

Issostitwixxi -22 għal y f'4x+5y=42. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x+5\left(-22\right)=42$$

Immultiplika 5 b'-22.

$$4x-110=42$$

Żid 110 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=152$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=38$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=38,y=-22$$