Issolvi {l}{2x+3y=10}{3x+4y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { 3 x + 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=5$$

$$y=0$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+3y=10,3x+4y=15$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+3y=10$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-3y+10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Issostitwixxi -\frac{3y}{2}+5 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+4y=15.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+4y=15$$

Immultiplika 3 b'-\frac{3y}{2}+5.

$$-\frac{9}{2}y+15+4y=15$$

Żid -\frac{9y}{2} ma' 4y.

$$-\frac{1}{2}y+15=15$$

Naqqas 15 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{2}y=0$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'x=-\frac{3}{2}y+5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+3y=10,3x+4y=15$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}&\frac{2}{2\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 10+3\times 15\\3\times 10-2\times 15\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=5,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+3y=10,3x+4y=15$$

Biex tagħmel 2x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 10,2\times 3x+2\times 4y=2\times 15$$

Issimplifika.

$$6x+9y=30,6x+8y=30$$

Naqqas 6x+8y=30 minn 6x+9y=30 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+9y-8y=30-30$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$9y-8y=30-30$$

Żid 9y ma' -8y.

$$y=30-30$$

Żid 30 ma' -30.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'3x+4y=15. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x=15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=0$$