Issolvi {l}{2m-3n=1}{m+n=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

Solvi għal m, n

$$m=2$$

$$n=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2m-3n=1,m+n=3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal m billi tiżola m fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2m-3n=1$$

Żid 3n maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2m=3n+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+1\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'3n+1.

$$m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

Issostitwixxi \frac{3n+1}{2} għal m fl-ekwazzjoni l-oħra, m+n=3.

$$\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}+n=3$$

Żid \frac{3n}{2} ma' n.

$$\frac{5}{2}n+\frac{1}{2}=3$$

Naqqas \frac{1}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{5}{2}n=\frac{5}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{5}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$n=1$$

Issostitwixxi 1 għal n f'm=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$m=\frac{3+1}{2}$$

Żid \frac{1}{2} ma' \frac{3}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$m=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=2,n=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2m-3n=1,m+n=3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi m u n.

$$m=2,n=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2m-3n=1,m+n=3$$

Biex tagħmel 2m u m ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$2m-3n=1,2m+2n=2\times 3$$

Issimplifika.

$$2m-3n=1,2m+2n=6$$

Naqqas 2m+2n=6 minn 2m-3n=1 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2m-2m-3n-2n=1-6$$

Żid 2m ma' -2m. 2m u -2m jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-3n-2n=1-6$$

Żid -3n ma' -2n.

$$-5n=1-6$$

Żid 1 ma' -6.

$$-5n=-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$n=1$$

Issostitwixxi 1 għal n f'm+n=3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$m+1=3$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$m=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=2,n=1$$