Issolvi {l}{2bx+ay=2ab}{bx-ay=4ab}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 b x + a y = 2 a b } \\ { b x - a y = 4 a b } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2bx+ay=2ab$$

Naqqas ay miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2b.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2b} b'a\left(-y+2b\right).

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

Issostitwixxi a-\frac{ay}{2b} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, bx+\left(-a\right)y=4ab.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

Immultiplika b b'a-\frac{ay}{2b}.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

Żid -\frac{ay}{2} ma' -ay.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

Naqqas ba miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-\frac{3a}{2}.

$$y=-2b$$

Issostitwixxi -2b għal y f'x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

Immultiplika -\frac{a}{2b} b'-2b.

$$x=a+a$$

Żid a ma' a.

$$x=2a$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2a,y=-2b$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2a,y=-2b$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Biex tagħmel 2bx u bx ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'b u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2b.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

Issimplifika.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

Naqqas 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} minn 2b^{2}x+aby=2ab^{2} billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Żid 2b^{2}x ma' -2b^{2}x. 2b^{2}x u -2b^{2}x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Żid bay ma' 2bay.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Żid 2ab^{2} ma' -8ab^{2}.

$$3aby=-6ab^{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3ba.

$$y=-2b$$

Issostitwixxi -2b għal y f'bx+\left(-a\right)y=4ab. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

Immultiplika -a b'-2b.

$$bx+2ab=4ab$$

Naqqas 2ba miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$bx=2ab$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'b.

$$x=2a$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2a,y=-2b$$

Solvi għal x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2bx+ay=2ab$$

Naqqas ay miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2b.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2b} b'a\left(-y+2b\right).

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

Issostitwixxi a-\frac{ay}{2b} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, bx+\left(-a\right)y=4ab.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

Immultiplika b b'a-\frac{ay}{2b}.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

Żid -\frac{ay}{2} ma' -ay.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

Naqqas ba miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-\frac{3a}{2}.

$$y=-2b$$

Issostitwixxi -2b għal y f'x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

Immultiplika -\frac{a}{2b} b'-2b.

$$x=a+a$$

Żid a ma' a.

$$x=2a$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2a,y=-2b$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2a,y=-2b$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Biex tagħmel 2bx u bx ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'b u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2b.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

Issimplifika.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

Naqqas 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} minn 2b^{2}x+aby=2ab^{2} billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Żid 2b^{2}x ma' -2b^{2}x. 2b^{2}x u -2b^{2}x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Żid bay ma' 2bay.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Żid 2ab^{2} ma' -8ab^{2}.

$$3aby=-6ab^{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3ba.

$$y=-2b$$

Issostitwixxi -2b għal y f'bx+\left(-a\right)y=4ab. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

Immultiplika -a b'-2b.

$$bx+2ab=4ab$$

Naqqas 2ba miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$bx=2ab$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'b.

$$x=2a$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2a,y=-2b$$