Issolvi {l}{2a+b=5}{a+2b=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + b = 5 } \\ { a + 2 b = 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal a, b

$$a=3$$

$$b=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2a+b=5,a+2b=1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal a billi tiżola a fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2a+b=5$$

Naqqas b miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2a=-b+5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-b+5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-b+5.

$$a=-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-b+5}{2} għal a fl-ekwazzjoni l-oħra, a+2b=1.

$$-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}+2b=1$$

Żid -\frac{b}{2} ma' 2b.

$$\frac{3}{2}b+\frac{5}{2}=1$$

Naqqas \frac{5}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{3}{2}b=-\frac{3}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{3}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$b=-1$$

Issostitwixxi -1 għal b f'a=-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'-1.

$$a=\frac{1+5}{2}$$

Żid \frac{5}{2} ma' \frac{1}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$a=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=3,b=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2a+b=5,a+2b=1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-1}&-\frac{1}{2\times 2-1}\\-\frac{1}{2\times 2-1}&\frac{2}{2\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}\times 5+\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi a u b.

$$a=3,b=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2a+b=5,a+2b=1$$

Biex tagħmel 2a u a ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$2a+b=5,2a+2\times 2b=2$$

Issimplifika.

$$2a+b=5,2a+4b=2$$

Naqqas 2a+4b=2 minn 2a+b=5 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2a-2a+b-4b=5-2$$

Żid 2a ma' -2a. 2a u -2a jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$b-4b=5-2$$

Żid b ma' -4b.

$$-3b=5-2$$

Żid 5 ma' -2.

$$-3b=3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$b=-1$$

Issostitwixxi -1 għal b f'a+2b=1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$a+2\left(-1\right)=1$$

Immultiplika 2 b'-1.

$$a-2=1$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$a=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=3,b=-1$$