Issolvi {l}{2(3x+y)=1/2}{1/2(2x+8y)=3/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 ( 3 x + y ) = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( 2 x + 8 y ) = \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-\frac{1}{22}\approx -0.045454545$$

$$y=\frac{17}{44}\approx 0.386363636$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

Esprimi \frac{\frac{1}{2}}{2} bħala frazzjoni waħda.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

Immultiplika 2 u 2 biex tikseb 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat b'2, ir-reċiproku ta' \frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

Immultiplika \frac{3}{2} u 2 biex tikseb 3.

$$2x+8y=3$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-y+\frac{1}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+\frac{1}{4}\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-y+\frac{1}{4}.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}$$

Issostitwixxi -\frac{y}{3}+\frac{1}{12} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+8y=3.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}\right)+8y=3$$

Immultiplika 2 b'-\frac{y}{3}+\frac{1}{12}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{1}{6}+8y=3$$

Żid -\frac{2y}{3} ma' 8y.

$$\frac{22}{3}y+\frac{1}{6}=3$$

Naqqas \frac{1}{6} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{22}{3}y=\frac{17}{6}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{22}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{17}{44}$$

Issostitwixxi \frac{17}{44} għal y f'x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{17}{44}+\frac{1}{12}$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'\frac{17}{44} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{17}{132}+\frac{1}{12}$$

Żid \frac{1}{12} ma' -\frac{17}{132} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-\frac{1}{22}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

Esprimi \frac{\frac{1}{2}}{2} bħala frazzjoni waħda.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

Immultiplika 2 u 2 biex tikseb 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat b'2, ir-reċiproku ta' \frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

Immultiplika \frac{3}{2} u 2 biex tikseb 3.

$$2x+8y=3$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2}&-\frac{1}{3\times 8-2}\\-\frac{2}{3\times 8-2}&\frac{3}{3\times 8-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times \frac{1}{4}-\frac{1}{22}\times 3\\-\frac{1}{11}\times \frac{1}{4}+\frac{3}{22}\times 3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22}\\\frac{17}{44}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

Esprimi \frac{\frac{1}{2}}{2} bħala frazzjoni waħda.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

Immultiplika 2 u 2 biex tikseb 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat b'2, ir-reċiproku ta' \frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

Immultiplika \frac{3}{2} u 2 biex tikseb 3.

$$2x+8y=3$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

Biex tagħmel 3x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$2\times 3x+2y=2\times \frac{1}{4},3\times 2x+3\times 8y=3\times 3$$

Issimplifika.

$$6x+2y=\frac{1}{2},6x+24y=9$$

Naqqas 6x+24y=9 minn 6x+2y=\frac{1}{2} billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

Żid 2y ma' -24y.

$$-22y=\frac{1}{2}-9$$

Żid \frac{1}{2} ma' -9.

$$-22y=-\frac{17}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-22.

$$y=\frac{17}{44}$$

Issostitwixxi \frac{17}{44} għal y f'2x+8y=3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+8\times \frac{17}{44}=3$$

Immultiplika 8 b'\frac{17}{44}.

$$2x+\frac{34}{11}=3$$

Naqqas \frac{34}{11} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-\frac{1}{11}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=-\frac{1}{22}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$