Issolvi {l}{2lambda-3b=-12}{5lambda-8b=-40}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 \lambda - 3 b = - 12 } \\ { 5 \lambda - 8 b = - 40 } \end{array} \right.$$

Solvi għal λ, b

$$\lambda =24$$

$$b=20$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2\lambda -3b=-12,5\lambda -8b=-40$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal \lambda billi tiżola \lambda fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2\lambda -3b=-12$$

Żid 3b maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2\lambda =3b-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$\lambda =\frac{1}{2}\left(3b-12\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-12+3b.

$$\lambda =\frac{3}{2}b-6$$

Issostitwixxi \frac{3b}{2}-6 għal \lambda fl-ekwazzjoni l-oħra, 5\lambda -8b=-40.

$$5\left(\frac{3}{2}b-6\right)-8b=-40$$

Immultiplika 5 b'\frac{3b}{2}-6.

$$\frac{15}{2}b-30-8b=-40$$

Żid \frac{15b}{2} ma' -8b.

$$-\frac{1}{2}b-30=-40$$

Żid 30 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{2}b=-10$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-2.

$$b=20$$

Issostitwixxi 20 għal b f'\lambda =\frac{3}{2}b-6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal \lambda direttament.

$$\lambda =\frac{3}{2}\times 20-6$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'20.

$$\lambda =30-6$$

Żid -6 ma' 30.

$$\lambda =24$$

Is-sistema issa solvuta.

$$\lambda =24,b=20$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2\lambda -3b=-12,5\lambda -8b=-40$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-40\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-40\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-40\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-40\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-8\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-8\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-8\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-40\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8&-3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-40\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\left(-12\right)-3\left(-40\right)\\5\left(-12\right)-2\left(-40\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\20\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi \lambda u b.

$$\lambda =24,b=20$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2\lambda -3b=-12,5\lambda -8b=-40$$

Biex tagħmel 2\lambda u 5\lambda ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$5\times 2\lambda +5\left(-3\right)b=5\left(-12\right),2\times 5\lambda +2\left(-8\right)b=2\left(-40\right)$$

Issimplifika.

$$10\lambda -15b=-60,10\lambda -16b=-80$$

Naqqas 10\lambda -16b=-80 minn 10\lambda -15b=-60 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$10\lambda -10\lambda -15b+16b=-60+80$$

Żid 10\lambda ma' -10\lambda . 10\lambda u -10\lambda jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-15b+16b=-60+80$$

Żid -15b ma' 16b.

$$b=-60+80$$

Żid -60 ma' 80.

$$b=20$$

Issostitwixxi 20 għal b f'5\lambda -8b=-40. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal \lambda direttament.

$$5\lambda -8\times 20=-40$$

Immultiplika -8 b'20.

$$5\lambda -160=-40$$

Żid 160 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5\lambda =120$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$\lambda =24$$

Is-sistema issa solvuta.

$$\lambda =24,b=20$$