Issolvi {l}{18=1200x+1600y}{17=600x+2400y}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 = 1200 x + 1600 y } \\ { 17 = 600 x + 2400 y } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{1}{120}\approx 0.008333333$$

$$y=\frac{1}{200}=0.005$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$1200x+1600y=18$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$600x+2400y=17$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$1200x+1600y=18$$

Naqqas 1600y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$1200x=-1600y+18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'1200.

$$x=\frac{1}{1200}\left(-1600y+18\right)$$

Immultiplika \frac{1}{1200} b'-1600y+18.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}$$

Issostitwixxi -\frac{4y}{3}+\frac{3}{200} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 600x+2400y=17.

$$600\left(-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}\right)+2400y=17$$

Immultiplika 600 b'-\frac{4y}{3}+\frac{3}{200}.

$$-800y+9+2400y=17$$

Żid -800y ma' 2400y.

$$1600y+9=17$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$1600y=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'1600.

$$y=\frac{1}{200}$$

Issostitwixxi \frac{1}{200} għal y f'x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{1}{200}+\frac{3}{200}$$

Immultiplika -\frac{4}{3} b'\frac{1}{200} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{1}{150}+\frac{3}{200}$$

Żid \frac{3}{200} ma' -\frac{1}{150} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{1}{120}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$1200x+1600y=18$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$600x+2400y=17$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2400}{1200\times 2400-1600\times 600}&-\frac{1600}{1200\times 2400-1600\times 600}\\-\frac{600}{1200\times 2400-1600\times 600}&\frac{1200}{1200\times 2400-1600\times 600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}&-\frac{1}{1200}\\-\frac{1}{3200}&\frac{1}{1600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}\times 18-\frac{1}{1200}\times 17\\-\frac{1}{3200}\times 18+\frac{1}{1600}\times 17\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{120}\\\frac{1}{200}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$1200x+1600y=18$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$600x+2400y=17$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

Biex tagħmel 1200x u 600x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'600 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1200.

$$600\times 1200x+600\times 1600y=600\times 18,1200\times 600x+1200\times 2400y=1200\times 17$$

Issimplifika.

$$720000x+960000y=10800,720000x+2880000y=20400$$

Naqqas 720000x+2880000y=20400 minn 720000x+960000y=10800 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$720000x-720000x+960000y-2880000y=10800-20400$$

Żid 720000x ma' -720000x. 720000x u -720000x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$960000y-2880000y=10800-20400$$

Żid 960000y ma' -2880000y.

$$-1920000y=10800-20400$$

Żid 10800 ma' -20400.

$$-1920000y=-9600$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1920000.

$$y=\frac{1}{200}$$

Issostitwixxi \frac{1}{200} għal y f'600x+2400y=17. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$600x+2400\times \frac{1}{200}=17$$

Immultiplika 2400 b'\frac{1}{200}.

$$600x+12=17$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$600x=5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'600.

$$x=\frac{1}{120}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$