Issolvi {l}{16x-10y=10}{-8x-6y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 10 y = 10 } \\ { - 8 x - 6 y = 6 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=0$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$16x-10y=10$$

Żid 10y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$16x=10y+10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'16.

$$x=\frac{1}{16}\left(10y+10\right)$$

Immultiplika \frac{1}{16} b'10+10y.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}$$

Issostitwixxi \frac{5+5y}{8} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -8x-6y=6.

$$-8\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}\right)-6y=6$$

Immultiplika -8 b'\frac{5+5y}{8}.

$$-5y-5-6y=6$$

Żid -5y ma' -6y.

$$-11y-5=6$$

Żid 5 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-11y=11$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-11.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{5}{8}\left(-1\right)+\frac{5}{8}$$

Immultiplika \frac{5}{8} b'-1.

$$x=\frac{-5+5}{8}$$

Żid \frac{5}{8} ma' -\frac{5}{8} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&-\frac{-10}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&\frac{16}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}&-\frac{5}{88}\\-\frac{1}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}\times 10-\frac{5}{88}\times 6\\-\frac{1}{22}\times 10-\frac{1}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=0,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

Biex tagħmel 16x u -8x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-8 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'16.

$$-8\times 16x-8\left(-10\right)y=-8\times 10,16\left(-8\right)x+16\left(-6\right)y=16\times 6$$

Issimplifika.

$$-128x+80y=-80,-128x-96y=96$$

Naqqas -128x-96y=96 minn -128x+80y=-80 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-128x+128x+80y+96y=-80-96$$

Żid -128x ma' 128x. -128x u 128x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$80y+96y=-80-96$$

Żid 80y ma' 96y.

$$176y=-80-96$$

Żid -80 ma' -96.

$$176y=-176$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'176.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'-8x-6y=6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-8x-6\left(-1\right)=6$$

Immultiplika -6 b'-1.

$$-8x+6=6$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-8x=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=-1$$