Issolvi {l}{16x=14+y}{2x+10y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x = 14 + y } \\ { 2 x + 10 y = 22 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$16x-y=14$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$16x-y=14,2x+10y=22$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$16x-y=14$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$16x=y+14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'16.

$$x=\frac{1}{16}\left(y+14\right)$$

Immultiplika \frac{1}{16} b'y+14.

$$x=\frac{1}{16}y+\frac{7}{8}$$

Issostitwixxi \frac{7}{8}+\frac{y}{16} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+10y=22.

$$2\left(\frac{1}{16}y+\frac{7}{8}\right)+10y=22$$

Immultiplika 2 b'\frac{7}{8}+\frac{y}{16}.

$$\frac{1}{8}y+\frac{7}{4}+10y=22$$

Żid \frac{y}{8} ma' 10y.

$$\frac{81}{8}y+\frac{7}{4}=22$$

Naqqas \frac{7}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{81}{8}y=\frac{81}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{81}{8}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x=\frac{1}{16}y+\frac{7}{8}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{16}\times 2+\frac{7}{8}$$

Immultiplika \frac{1}{16} b'2.

$$x=\frac{1+7}{8}$$

Żid \frac{7}{8} ma' \frac{1}{8} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$16x-y=14$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$16x-y=14,2x+10y=22$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}16&-1\\2&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\22\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}16&-1\\2&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-1\\2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-1\\2&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-1\\2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\22\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-1\\2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\22\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-1\\2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\22\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{16\times 10-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{16\times 10-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{16\times 10-\left(-2\right)}&\frac{16}{16\times 10-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\22\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{81}&\frac{1}{162}\\-\frac{1}{81}&\frac{8}{81}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\22\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{81}\times 14+\frac{1}{162}\times 22\\-\frac{1}{81}\times 14+\frac{8}{81}\times 22\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$16x-y=14$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$16x-y=14,2x+10y=22$$

Biex tagħmel 16x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'16.

$$2\times 16x+2\left(-1\right)y=2\times 14,16\times 2x+16\times 10y=16\times 22$$

Issimplifika.

$$32x-2y=28,32x+160y=352$$

Naqqas 32x+160y=352 minn 32x-2y=28 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$32x-32x-2y-160y=28-352$$

Żid 32x ma' -32x. 32x u -32x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-2y-160y=28-352$$

Żid -2y ma' -160y.

$$-162y=28-352$$

Żid 28 ma' -352.

$$-162y=-324$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-162.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'2x+10y=22. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+10\times 2=22$$

Immultiplika 10 b'2.

$$2x+20=22$$

Naqqas 20 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=2$$