Issolvi {l}{15x+8y=6}{25x+12y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 8 y = 6 } \\ { 25 x + 12 y = 14 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=-3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$15x+8y=6,25x+12y=14$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$15x+8y=6$$

Naqqas 8y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$15x=-8y+6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'15.

$$x=\frac{1}{15}\left(-8y+6\right)$$

Immultiplika \frac{1}{15} b'-8y+6.

$$x=-\frac{8}{15}y+\frac{2}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{8y}{15}+\frac{2}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 25x+12y=14.

$$25\left(-\frac{8}{15}y+\frac{2}{5}\right)+12y=14$$

Immultiplika 25 b'-\frac{8y}{15}+\frac{2}{5}.

$$-\frac{40}{3}y+10+12y=14$$

Żid -\frac{40y}{3} ma' 12y.

$$-\frac{4}{3}y+10=14$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{4}{3}y=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{4}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'x=-\frac{8}{15}y+\frac{2}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{8}{15}\left(-3\right)+\frac{2}{5}$$

Immultiplika -\frac{8}{15} b'-3.

$$x=\frac{8+2}{5}$$

Żid \frac{2}{5} ma' \frac{8}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$15x+8y=6,25x+12y=14$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}15&8\\25&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}15&8\\25&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&8\\25&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&8\\25&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&8\\25&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&8\\25&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&8\\25&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{15\times 12-8\times 25}&-\frac{8}{15\times 12-8\times 25}\\-\frac{25}{15\times 12-8\times 25}&\frac{15}{15\times 12-8\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\times 6+\frac{2}{5}\times 14\\\frac{5}{4}\times 6-\frac{3}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$15x+8y=6,25x+12y=14$$

Biex tagħmel 15x u 25x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'25 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'15.

$$25\times 15x+25\times 8y=25\times 6,15\times 25x+15\times 12y=15\times 14$$

Issimplifika.

$$375x+200y=150,375x+180y=210$$

Naqqas 375x+180y=210 minn 375x+200y=150 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$375x-375x+200y-180y=150-210$$

Żid 375x ma' -375x. 375x u -375x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$200y-180y=150-210$$

Żid 200y ma' -180y.

$$20y=150-210$$

Żid 150 ma' -210.

$$20y=-60$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'20.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'25x+12y=14. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$25x+12\left(-3\right)=14$$

Immultiplika 12 b'-3.

$$25x-36=14$$

Żid 36 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$25x=50$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'25.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=-3$$