Issolvi {l}{15x+107y=1}{71x+179y=-287}

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 107 y = 1 } \\ { 71 x + 179 y = - 287 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{3861}{614} = -6\frac{177}{614} \approx -6.288273616$$

$$y=\frac{547}{614}\approx 0.890879479$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$15x+107y=1$$

Naqqas 107y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$15x=-107y+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'15.

$$x=\frac{1}{15}\left(-107y+1\right)$$

Immultiplika \frac{1}{15} b'-107y+1.

$$x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}$$

Issostitwixxi \frac{-107y+1}{15} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 71x+179y=-287.

$$71\left(-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}\right)+179y=-287$$

Immultiplika 71 b'\frac{-107y+1}{15}.

$$-\frac{7597}{15}y+\frac{71}{15}+179y=-287$$

Żid -\frac{7597y}{15} ma' 179y.

$$-\frac{4912}{15}y+\frac{71}{15}=-287$$

Naqqas \frac{71}{15} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{4912}{15}y=-\frac{4376}{15}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{4912}{15}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{547}{614}$$

Issostitwixxi \frac{547}{614} għal y f'x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{107}{15}\times \frac{547}{614}+\frac{1}{15}$$

Immultiplika -\frac{107}{15} b'\frac{547}{614} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{58529}{9210}+\frac{1}{15}$$

Żid \frac{1}{15} ma' -\frac{58529}{9210} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{179}{15\times 179-107\times 71}&-\frac{107}{15\times 179-107\times 71}\\-\frac{71}{15\times 179-107\times 71}&\frac{15}{15\times 179-107\times 71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}&\frac{107}{4912}\\\frac{71}{4912}&-\frac{15}{4912}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}+\frac{107}{4912}\left(-287\right)\\\frac{71}{4912}-\frac{15}{4912}\left(-287\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3861}{614}\\\frac{547}{614}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Biex tagħmel 15x u 71x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'71 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'15.

$$71\times 15x+71\times 107y=71,15\times 71x+15\times 179y=15\left(-287\right)$$

Issimplifika.

$$1065x+7597y=71,1065x+2685y=-4305$$

Naqqas 1065x+2685y=-4305 minn 1065x+7597y=71 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$1065x-1065x+7597y-2685y=71+4305$$

Żid 1065x ma' -1065x. 1065x u -1065x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$7597y-2685y=71+4305$$

Żid 7597y ma' -2685y.

$$4912y=71+4305$$

Żid 71 ma' 4305.

$$4912y=4376$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4912.

$$y=\frac{547}{614}$$

Issostitwixxi \frac{547}{614} għal y f'71x+179y=-287. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$71x+179\times \frac{547}{614}=-287$$

Immultiplika 179 b'\frac{547}{614}.

$$71x+\frac{97913}{614}=-287$$

Naqqas \frac{97913}{614} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$71x=-\frac{274131}{614}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'71.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$