Issolvi {l}{12x+5y=0}{4x-10y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 5 y = 0 } \\ { 4 x - 10 y = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$12x+5y=0,4x-10y=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$12x+5y=0$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$12x=-5y$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-5\right)y$$

Immultiplika \frac{1}{12} b'-5y.

$$x=-\frac{5}{12}y$$

Issostitwixxi -\frac{5y}{12} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x-10y=0.

$$4\left(-\frac{5}{12}\right)y-10y=0$$

Immultiplika 4 b'-\frac{5y}{12}.

$$-\frac{5}{3}y-10y=0$$

Żid -\frac{5y}{3} ma' -10y.

$$-\frac{35}{3}y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{35}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'x=-\frac{5}{12}y. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$12x+5y=0,4x-10y=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}12&5\\4&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}12&5\\4&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&5\\4&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&5\\4&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&5\\4&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&5\\4&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&5\\4&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{12\left(-10\right)-5\times 4}&-\frac{5}{12\left(-10\right)-5\times 4}\\-\frac{4}{12\left(-10\right)-5\times 4}&\frac{12}{12\left(-10\right)-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{1}{28}\\\frac{1}{35}&-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=0,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$12x+5y=0,4x-10y=0$$

Biex tagħmel 12x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'12.

$$4\times 12x+4\times 5y=0,12\times 4x+12\left(-10\right)y=0$$

Issimplifika.

$$48x+20y=0,48x-120y=0$$

Naqqas 48x-120y=0 minn 48x+20y=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$48x-48x+20y+120y=0$$

Żid 48x ma' -48x. 48x u -48x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$20y+120y=0$$

Żid 20y ma' 120y.

$$140y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'140.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'4x-10y=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=0$$