Issolvi {l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$12x+4y=6$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$12x=-4y+6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

Immultiplika \frac{1}{12} b'-4y+6.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 9x+16y=8.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

Immultiplika 9 b'-\frac{y}{3}+\frac{1}{2}.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

Żid -3y ma' 16y.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

Naqqas \frac{9}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$13y=\frac{7}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'13.

$$y=\frac{7}{26}$$

Issostitwixxi \frac{7}{26} għal y f'x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'\frac{7}{26} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

Żid \frac{1}{2} ma' -\frac{7}{78} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{16}{39}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), biex l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala l-problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Biex tagħmel 12x u 9x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'9 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'12.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

Issimplifika.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

Naqqas 108x+192y=96 minn 108x+36y=54 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

Żid 108x ma' -108x. 108x u -108x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$36y-192y=54-96$$

Żid 36y ma' -192y.

$$-156y=54-96$$

Żid 54 ma' -96.

$$-156y=-42$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-156.

$$y=\frac{7}{26}$$

Issostitwixxi \frac{7}{26} għal y f'9x+16y=8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

Immultiplika 16 b'\frac{7}{26}.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

Naqqas \frac{56}{13} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9x=\frac{48}{13}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$x=\frac{16}{39}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$