Issolvi {l}{12x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{40}{3} = -13\frac{1}{3} \approx -13.333333333$$

$$y=55$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$12x+3y=5,3x+2y=70$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$12x+3y=5$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$12x=-3y+5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-3y+5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{12} b'-3y+5.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}$$

Issostitwixxi -\frac{y}{4}+\frac{5}{12} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}\right)+2y=70$$

Immultiplika 3 b'-\frac{y}{4}+\frac{5}{12}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+2y=70$$

Żid -\frac{3y}{4} ma' 2y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=70$$

Naqqas \frac{5}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{5}{4}y=\frac{275}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{5}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=55$$

Issostitwixxi 55 għal y f'x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{4}\times 55+\frac{5}{12}$$

Immultiplika -\frac{1}{4} b'55.

$$x=-\frac{55}{4}+\frac{5}{12}$$

Żid \frac{5}{12} ma' -\frac{55}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-\frac{40}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{40}{3},y=55$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$12x+3y=5,3x+2y=70$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{12\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}&\frac{12}{12\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{5}\times 70\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{4}{5}\times 70\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{3}\\55\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{40}{3},y=55$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$12x+3y=5,3x+2y=70$$

Biex tagħmel 12x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'12.

$$3\times 12x+3\times 3y=3\times 5,12\times 3x+12\times 2y=12\times 70$$

Issimplifika.

$$36x+9y=15,36x+24y=840$$

Naqqas 36x+24y=840 minn 36x+9y=15 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$36x-36x+9y-24y=15-840$$

Żid 36x ma' -36x. 36x u -36x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$9y-24y=15-840$$

Żid 9y ma' -24y.

$$-15y=15-840$$

Żid 15 ma' -840.

$$-15y=-825$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-15.

$$y=55$$

Issostitwixxi 55 għal y f'3x+2y=70. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+2\times 55=70$$

Immultiplika 2 b'55.

$$3x+110=70$$

Naqqas 110 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-40$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=-\frac{40}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{40}{3},y=55$$