Issolvi {l}{12x+11y=33}{4y-15x=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 11 y = 33 } \\ { 4 y - 15 x = 10 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{22}{213}\approx 0.103286385$$

$$y = \frac{205}{71} = 2\frac{63}{71} \approx 2.887323944$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$12x+11y=33,-15x+4y=10$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$12x+11y=33$$

Naqqas 11y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$12x=-11y+33$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-11y+33\right)$$

Immultiplika \frac{1}{12} b'-11y+33.

$$x=-\frac{11}{12}y+\frac{11}{4}$$

Issostitwixxi -\frac{11y}{12}+\frac{11}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -15x+4y=10.

$$-15\left(-\frac{11}{12}y+\frac{11}{4}\right)+4y=10$$

Immultiplika -15 b'-\frac{11y}{12}+\frac{11}{4}.

$$\frac{55}{4}y-\frac{165}{4}+4y=10$$

Żid \frac{55y}{4} ma' 4y.

$$\frac{71}{4}y-\frac{165}{4}=10$$

Żid \frac{165}{4} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{71}{4}y=\frac{205}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{71}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{205}{71}$$

Issostitwixxi \frac{205}{71} għal y f'x=-\frac{11}{12}y+\frac{11}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{11}{12}\times \frac{205}{71}+\frac{11}{4}$$

Immultiplika -\frac{11}{12} b'\frac{205}{71} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{2255}{852}+\frac{11}{4}$$

Żid \frac{11}{4} ma' -\frac{2255}{852} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{22}{213}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{22}{213},y=\frac{205}{71}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$12x+11y=33,-15x+4y=10$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}12&11\\-15&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}33\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}12&11\\-15&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&11\\-15&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&11\\-15&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&11\\-15&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\10\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&11\\-15&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&11\\-15&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\10\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{12\times 4-11\left(-15\right)}&-\frac{11}{12\times 4-11\left(-15\right)}\\-\frac{-15}{12\times 4-11\left(-15\right)}&\frac{12}{12\times 4-11\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}33\\10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{213}&-\frac{11}{213}\\\frac{5}{71}&\frac{4}{71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}33\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{213}\times 33-\frac{11}{213}\times 10\\\frac{5}{71}\times 33+\frac{4}{71}\times 10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{213}\\\frac{205}{71}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{22}{213},y=\frac{205}{71}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$12x+11y=33,-15x+4y=10$$

Biex tagħmel 12x u -15x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-15 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'12.

$$-15\times 12x-15\times 11y=-15\times 33,12\left(-15\right)x+12\times 4y=12\times 10$$

Issimplifika.

$$-180x-165y=-495,-180x+48y=120$$

Naqqas -180x+48y=120 minn -180x-165y=-495 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-180x+180x-165y-48y=-495-120$$

Żid -180x ma' 180x. -180x u 180x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-165y-48y=-495-120$$

Żid -165y ma' -48y.

$$-213y=-495-120$$

Żid -495 ma' -120.

$$-213y=-615$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-213.

$$y=\frac{205}{71}$$

Issostitwixxi \frac{205}{71} għal y f'-15x+4y=10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-15x+4\times \frac{205}{71}=10$$

Immultiplika 4 b'\frac{205}{71}.

$$-15x+\frac{820}{71}=10$$

Naqqas \frac{820}{71} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-15x=-\frac{110}{71}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-15.

$$x=\frac{22}{213}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{22}{213},y=\frac{205}{71}$$