Issolvi {l}{11x+14y=156}{16x+16y=192}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 14 y = 156 } \\ { 16 x + 16 y = 192 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=4$$

$$y=8$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$11x+14y=156,16x+16y=192$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$11x+14y=156$$

Naqqas 14y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$11x=-14y+156$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'11.

$$x=\frac{1}{11}\left(-14y+156\right)$$

Immultiplika \frac{1}{11} b'-14y+156.

$$x=-\frac{14}{11}y+\frac{156}{11}$$

Issostitwixxi \frac{-14y+156}{11} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 16x+16y=192.

$$16\left(-\frac{14}{11}y+\frac{156}{11}\right)+16y=192$$

Immultiplika 16 b'\frac{-14y+156}{11}.

$$-\frac{224}{11}y+\frac{2496}{11}+16y=192$$

Żid -\frac{224y}{11} ma' 16y.

$$-\frac{48}{11}y+\frac{2496}{11}=192$$

Naqqas \frac{2496}{11} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{48}{11}y=-\frac{384}{11}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{48}{11}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=8$$

Issostitwixxi 8 għal y f'x=-\frac{14}{11}y+\frac{156}{11}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{14}{11}\times 8+\frac{156}{11}$$

Immultiplika -\frac{14}{11} b'8.

$$x=\frac{-112+156}{11}$$

Żid \frac{156}{11} ma' -\frac{112}{11} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=8$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$11x+14y=156,16x+16y=192$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}11&14\\16&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}156\\192\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}11&14\\16&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&14\\16&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&14\\16&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&14\\16&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}156\\192\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&14\\16&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}156\\192\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&14\\16&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}156\\192\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11\times 16-14\times 16}&-\frac{14}{11\times 16-14\times 16}\\-\frac{16}{11\times 16-14\times 16}&\frac{11}{11\times 16-14\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}156\\192\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{7}{24}\\\frac{1}{3}&-\frac{11}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}156\\192\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 156+\frac{7}{24}\times 192\\\frac{1}{3}\times 156-\frac{11}{48}\times 192\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=4,y=8$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$11x+14y=156,16x+16y=192$$

Biex tagħmel 11x u 16x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'16 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'11.

$$16\times 11x+16\times 14y=16\times 156,11\times 16x+11\times 16y=11\times 192$$

Issimplifika.

$$176x+224y=2496,176x+176y=2112$$

Naqqas 176x+176y=2112 minn 176x+224y=2496 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$176x-176x+224y-176y=2496-2112$$

Żid 176x ma' -176x. 176x u -176x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$224y-176y=2496-2112$$

Żid 224y ma' -176y.

$$48y=2496-2112$$

Żid 2496 ma' -2112.

$$48y=384$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'48.

$$y=8$$

Issostitwixxi 8 għal y f'16x+16y=192. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$16x+16\times 8=192$$

Immultiplika 16 b'8.

$$16x+128=192$$

Naqqas 128 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$16x=64$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'16.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=8$$