Issolvi {l}{10x+4y=-12}{-9x-5y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 4 y = - 12 } \\ { - 9 x - 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-4$$

$$y=7$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$10x+4y=-12$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$10x=-4y-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-4y-12\right)$$

Immultiplika \frac{1}{10} b'-4y-12.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}$$

Issostitwixxi \frac{-2y-6}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -9x-5y=1.

$$-9\left(-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}\right)-5y=1$$

Immultiplika -9 b'\frac{-2y-6}{5}.

$$\frac{18}{5}y+\frac{54}{5}-5y=1$$

Żid \frac{18y}{5} ma' -5y.

$$-\frac{7}{5}y+\frac{54}{5}=1$$

Naqqas \frac{54}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{49}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{7}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=7$$

Issostitwixxi 7 għal y f'x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{2}{5}\times 7-\frac{6}{5}$$

Immultiplika -\frac{2}{5} b'7.

$$x=\frac{-14-6}{5}$$

Żid -\frac{6}{5} ma' -\frac{14}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-4,y=7$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}&\frac{10}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&\frac{2}{7}\\-\frac{9}{14}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\\-\frac{9}{14}\left(-12\right)-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-4,y=7$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

Biex tagħmel 10x u -9x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-9 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'10.

$$-9\times 10x-9\times 4y=-9\left(-12\right),10\left(-9\right)x+10\left(-5\right)y=10$$

Issimplifika.

$$-90x-36y=108,-90x-50y=10$$

Naqqas -90x-50y=10 minn -90x-36y=108 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-90x+90x-36y+50y=108-10$$

Żid -90x ma' 90x. -90x u 90x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-36y+50y=108-10$$

Żid -36y ma' 50y.

$$14y=108-10$$

Żid 108 ma' -10.

$$14y=98$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'14.

$$y=7$$

Issostitwixxi 7 għal y f'-9x-5y=1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-9x-5\times 7=1$$

Immultiplika -5 b'7.

$$-9x-35=1$$

Żid 35 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-9x=36$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-9.

$$x=-4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-4,y=7$$