Issolvi {l}{1c+1V=16500}{2c+3V=40500}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 c + 1 V = 16500 } \\ { 2 c + 3 V = 40500 } \end{array} \right.$$

Solvi għal c, V

$$c=9000$$

$$V=7500$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal c billi tiżola c fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$c+V=16500$$

Naqqas V miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$c=-V+16500$$

Issostitwixxi -V+16500 għal c fl-ekwazzjoni l-oħra, 2c+3V=40500.

$$2\left(-V+16500\right)+3V=40500$$

Immultiplika 2 b'-V+16500.

$$-2V+33000+3V=40500$$

Żid -2V ma' 3V.

$$V+33000=40500$$

Naqqas 33000 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$V=7500$$

Issostitwixxi 7500 għal V f'c=-V+16500. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal c direttament.

$$c=-7500+16500$$

Żid 16500 ma' -7500.

$$c=9000$$

Is-sistema issa solvuta.

$$c=9000,V=7500$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 16500-40500\\-2\times 16500+40500\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9000\\7500\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi c u V.

$$c=9000,V=7500$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

Biex tagħmel c u 2c ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$2c+2V=2\times 16500,2c+3V=40500$$

Issimplifika.

$$2c+2V=33000,2c+3V=40500$$

Naqqas 2c+3V=40500 minn 2c+2V=33000 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2c-2c+2V-3V=33000-40500$$

Żid 2c ma' -2c. 2c u -2c jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2V-3V=33000-40500$$

Żid 2V ma' -3V.

$$-V=33000-40500$$

Żid 33000 ma' -40500.

$$-V=-7500$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$V=7500$$

Issostitwixxi 7500 għal V f'2c+3V=40500. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal c direttament.

$$2c+3\times 7500=40500$$

Immultiplika 3 b'7500.

$$2c+22500=40500$$

Naqqas 22500 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2c=18000$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$c=9000$$

Is-sistema issa solvuta.

$$c=9000,V=7500$$