Issolvi {l}{0.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{112}{15} = 7\frac{7}{15} \approx 7.466666667$$

$$y = \frac{79}{15} = 5\frac{4}{15} \approx 5.266666667$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$0.5x+y=9$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$0.5x=-y+9$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'2.

$$x=2\left(-y+9\right)$$

Immultiplika 2 b'-y+9.

$$x=-2y+18$$

Issostitwixxi -2y+18 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-2y+18\right)+0.2y=13$$

Immultiplika 1.6 b'-2y+18.

$$-3.2y+28.8+0.2y=13$$

Żid -\frac{16y}{5} ma' \frac{y}{5}.

$$-3y+28.8=13$$

Naqqas 28.8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3y=-15.8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=\frac{79}{15}$$

Issostitwixxi \frac{79}{15} għal y f'x=-2y+18. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\times \frac{79}{15}+18$$

Immultiplika -2 b'\frac{79}{15}.

$$x=-\frac{158}{15}+18$$

Żid 18 ma' -\frac{158}{15}.

$$x=\frac{112}{15}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{0.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{0.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{0.5\times 0.2-1.6}&\frac{0.5}{0.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{16}{15}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 9+\frac{2}{3}\times 13\\\frac{16}{15}\times 9-\frac{1}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{15}\\\frac{79}{15}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Biex tagħmel \frac{x}{2} u \frac{8x}{5} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1.6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'0.5.

$$1.6\times 0.5x+1.6y=1.6\times 9,0.5\times 1.6x+0.5\times 0.2y=0.5\times 13$$

Issimplifika.

$$0.8x+1.6y=14.4,0.8x+0.1y=6.5$$

Naqqas 0.8x+0.1y=6.5 minn 0.8x+1.6y=14.4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$0.8x-0.8x+1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

Żid \frac{4x}{5} ma' -\frac{4x}{5}. \frac{4x}{5} u -\frac{4x}{5} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

Żid \frac{8y}{5} ma' -\frac{y}{10}.

$$1.5y=14.4-6.5$$

Żid 14.4 ma' -6.5 biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$1.5y=7.9$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'1.5, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{79}{15}$$

Issostitwixxi \frac{79}{15} għal y f'1.6x+0.2y=13. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$1.6x+0.2\times \frac{79}{15}=13$$

Immultiplika 0.2 b'\frac{79}{15} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$1.6x+\frac{79}{75}=13$$

Naqqas \frac{79}{75} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$1.6x=\frac{896}{75}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'1.6, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=\frac{112}{15}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$