Issolvi {l}{0.045x+0.11y=0.036}{0.19x+0.405y=0.149}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.045 x + 0.11 y = 0.036 } \\ { 0.19 x + 0.405 y = 0.149 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{362}{535}\approx 0.676635514$$

$$y=\frac{27}{535}\approx 0.05046729$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$0.045x+0.11y=0.036,0.19x+0.405y=0.149$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$0.045x+0.11y=0.036$$

Naqqas \frac{11y}{100} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$0.045x=-0.11y+0.036$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'0.045, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=\frac{200}{9}\left(-0.11y+0.036\right)$$

Immultiplika \frac{200}{9} b'-\frac{11y}{100}+0.036.

$$x=-\frac{22}{9}y+0.8$$

Issostitwixxi -\frac{22y}{9}+0.8 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 0.19x+0.405y=0.149.

$$0.19\left(-\frac{22}{9}y+0.8\right)+0.405y=0.149$$

Immultiplika 0.19 b'-\frac{22y}{9}+0.8.

$$-\frac{209}{450}y+0.152+0.405y=0.149$$

Żid -\frac{209y}{450} ma' \frac{81y}{200}.

$$-\frac{107}{1800}y+0.152=0.149$$

Naqqas 0.152 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{107}{1800}y=-0.003$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{107}{1800}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{27}{535}$$

Issostitwixxi \frac{27}{535} għal y f'x=-\frac{22}{9}y+0.8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{22}{9}\times \frac{27}{535}+0.8$$

Immultiplika -\frac{22}{9} b'\frac{27}{535} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{66}{535}+0.8$$

Żid 0.8 ma' -\frac{66}{535} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{362}{535}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{362}{535},y=\frac{27}{535}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$0.045x+0.11y=0.036,0.19x+0.405y=0.149$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}0.045&0.11\\0.19&0.405\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.036\\0.149\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}0.045&0.11\\0.19&0.405\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.045&0.11\\0.19&0.405\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.045&0.11\\0.19&0.405\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.045&0.11\\0.19&0.405\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.036\\0.149\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.045&0.11\\0.19&0.405\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.036\\0.149\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.045&0.11\\0.19&0.405\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.036\\0.149\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.405}{0.045\times 0.405-0.11\times 0.19}&-\frac{0.11}{0.045\times 0.405-0.11\times 0.19}\\-\frac{0.19}{0.045\times 0.405-0.11\times 0.19}&\frac{0.045}{0.045\times 0.405-0.11\times 0.19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.036\\0.149\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16200}{107}&\frac{4400}{107}\\\frac{7600}{107}&-\frac{1800}{107}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.036\\0.149\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16200}{107}\times 0.036+\frac{4400}{107}\times 0.149\\\frac{7600}{107}\times 0.036-\frac{1800}{107}\times 0.149\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{362}{535}\\\frac{27}{535}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{362}{535},y=\frac{27}{535}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$0.045x+0.11y=0.036,0.19x+0.405y=0.149$$

Biex tagħmel \frac{9x}{200} u \frac{19x}{100} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'0.19 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'0.045.

$$0.19\times 0.045x+0.19\times 0.11y=0.19\times 0.036,0.045\times 0.19x+0.045\times 0.405y=0.045\times 0.149$$

Issimplifika.

$$0.00855x+0.0209y=0.00684,0.00855x+0.018225y=0.006705$$

Naqqas 0.00855x+0.018225y=0.006705 minn 0.00855x+0.0209y=0.00684 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$0.00855x-0.00855x+0.0209y-0.018225y=0.00684-0.006705$$

Żid \frac{171x}{20000} ma' -\frac{171x}{20000}. \frac{171x}{20000} u -\frac{171x}{20000} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$0.0209y-0.018225y=0.00684-0.006705$$

Żid \frac{209y}{10000} ma' -\frac{729y}{40000}.

$$0.002675y=0.00684-0.006705$$

Żid 0.00684 ma' -0.006705 biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$0.002675y=0.000135$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'0.002675, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{27}{535}$$

Issostitwixxi \frac{27}{535} għal y f'0.19x+0.405y=0.149. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$0.19x+0.405\times \frac{27}{535}=0.149$$

Immultiplika 0.405 b'\frac{27}{535} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$0.19x+\frac{2187}{107000}=0.149$$

Naqqas \frac{2187}{107000} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$0.19x=\frac{3439}{26750}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'0.19, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=\frac{362}{535}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{362}{535},y=\frac{27}{535}$$