Issolvi {l}{0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9}{0.041x_{2}-0.002x_{3}=0.117}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.041 x _ { 3 } + 0.16 x _ { 2 } = 0.9 } \\ { 0.041 x _ { 2 } - 0.002 x _ { 3 } = 0.117 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x_3, x_2

$$x_{3} = \frac{6060}{667} = 9\frac{57}{667} \approx 9.085457271$$

$$x_{2} = \frac{2199}{667} = 3\frac{198}{667} \approx 3.296851574$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x_{3} billi tiżola x_{3} fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9$$

Naqqas \frac{4x_{2}}{25} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$0.041x_{3}=-0.16x_{2}+0.9$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'0.041, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x_{3}=\frac{1000}{41}\left(-0.16x_{2}+0.9\right)$$

Immultiplika \frac{1000}{41} b'-\frac{4x_{2}}{25}+0.9.

$$x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}$$

Issostitwixxi \frac{-160x_{2}+900}{41} għal x_{3} fl-ekwazzjoni l-oħra, -0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117.

$$-0.002\left(-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}\right)+0.041x_{2}=0.117$$

Immultiplika -0.002 b'\frac{-160x_{2}+900}{41}.

$$\frac{8}{1025}x_{2}-\frac{9}{205}+0.041x_{2}=0.117$$

Żid \frac{8x_{2}}{1025} ma' \frac{41x_{2}}{1000}.

$$\frac{2001}{41000}x_{2}-\frac{9}{205}=0.117$$

Żid \frac{9}{205} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{2001}{41000}x_{2}=\frac{6597}{41000}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{2001}{41000}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

Issostitwixxi \frac{2199}{667} għal x_{2} f'x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x_{3} direttament.

$$x_{3}=-\frac{160}{41}\times \frac{2199}{667}+\frac{900}{41}$$

Immultiplika -\frac{160}{41} b'\frac{2199}{667} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x_{3}=-\frac{351840}{27347}+\frac{900}{41}$$

Żid \frac{900}{41} ma' -\frac{351840}{27347} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&-\frac{0.16}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\\-\frac{-0.002}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}&-\frac{160000}{2001}\\\frac{2000}{2001}&\frac{41000}{2001}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}\times 0.9-\frac{160000}{2001}\times 0.117\\\frac{2000}{2001}\times 0.9+\frac{41000}{2001}\times 0.117\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6060}{667}\\\frac{2199}{667}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x_{3} u x_{2}.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

Biex tagħmel \frac{41x_{3}}{1000} u -\frac{x_{3}}{500} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-0.002 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'0.041.

$$-0.002\times 0.041x_{3}-0.002\times 0.16x_{2}=-0.002\times 0.9,0.041\left(-0.002\right)x_{3}+0.041\times 0.041x_{2}=0.041\times 0.117$$

Issimplifika.

$$-0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018,-0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797$$

Naqqas -0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797 minn -0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-0.000082x_{3}+0.000082x_{3}-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

Żid -\frac{41x_{3}}{500000} ma' \frac{41x_{3}}{500000}. -\frac{41x_{3}}{500000} u \frac{41x_{3}}{500000} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

Żid -\frac{x_{2}}{3125} ma' -\frac{1681x_{2}}{1000000}.

$$-0.002001x_{2}=-0.0018-0.004797$$

Żid -0.0018 ma' -0.004797 biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$-0.002001x_{2}=-0.006597$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-0.002001, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

Issostitwixxi \frac{2199}{667} għal x_{2} f'-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x_{3} direttament.

$$-0.002x_{3}+0.041\times \frac{2199}{667}=0.117$$

Immultiplika 0.041 b'\frac{2199}{667} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$-0.002x_{3}+\frac{90159}{667000}=0.117$$

Naqqas \frac{90159}{667000} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-0.002x_{3}=-\frac{303}{16675}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-500.

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$