Issolvi {l}{0=1/3-b+c}{0=3+3b+c}

$$\left. \begin{array} { l } { 0 = \frac { 1 } { 3 } - b + c } \\ { 0 = 3 + 3 b + c } \end{array} \right.$$

Solvi għal b, c

$$b=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$c=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

Naqqas \frac{1}{3} miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$3+3b+c=0$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$3b+c=-3$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal b billi tiżola b fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

Naqqas c miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-b=-c-\frac{1}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$b=-\left(-c-\frac{1}{3}\right)$$

Immultiplika -1 b'-c-\frac{1}{3}.

$$b=c+\frac{1}{3}$$

Issostitwixxi c+\frac{1}{3} għal b fl-ekwazzjoni l-oħra, 3b+c=-3.

$$3\left(c+\frac{1}{3}\right)+c=-3$$

Immultiplika 3 b'c+\frac{1}{3}.

$$3c+1+c=-3$$

Żid 3c ma' c.

$$4c+1=-3$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4c=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$c=-1$$

Issostitwixxi -1 għal c f'b=c+\frac{1}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal b direttament.

$$b=-1+\frac{1}{3}$$

Żid \frac{1}{3} ma' -1.

$$b=-\frac{2}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

Naqqas \frac{1}{3} miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$3+3b+c=0$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$3b+c=-3$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\\-\frac{3}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi b u c.

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

Naqqas \frac{1}{3} miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$3+3b+c=0$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$3b+c=-3$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

Naqqas 3b+c=-3 minn -b+c=-\frac{1}{3} billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-b-3b+c-c=-\frac{1}{3}+3$$

Żid c ma' -c. c u -c jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-b-3b=-\frac{1}{3}+3$$

Żid -b ma' -3b.

$$-4b=-\frac{1}{3}+3$$

Żid -\frac{1}{3} ma' 3.

$$-4b=\frac{8}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$b=-\frac{2}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{2}{3} għal b f'3b+c=-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal c direttament.

$$3\left(-\frac{2}{3}\right)+c=-3$$

Immultiplika 3 b'-\frac{2}{3}.

$$-2+c=-3$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$c=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$