Issolvi {l}{-x-6y=-16}{5x-y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 6 y = - 16 } \\ { 5 x - y = 18 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-x-6y=-16,5x-y=18$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-x-6y=-16$$

Żid 6y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=6y-16$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=-\left(6y-16\right)$$

Immultiplika -1 b'6y-16.

$$x=-6y+16$$

Issostitwixxi -6y+16 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x-y=18.

$$5\left(-6y+16\right)-y=18$$

Immultiplika 5 b'-6y+16.

$$-30y+80-y=18$$

Żid -30y ma' -y.

$$-31y+80=18$$

Naqqas 80 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-31y=-62$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-31.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x=-6y+16. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-6\times 2+16$$

Immultiplika -6 b'2.

$$x=-12+16$$

Żid 16 ma' -12.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-x-6y=-16,5x-y=18$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-\left(-1\right)-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{-6}{-\left(-1\right)-\left(-6\times 5\right)}\\-\frac{5}{-\left(-1\right)-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{1}{-\left(-1\right)-\left(-6\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{31}&\frac{6}{31}\\-\frac{5}{31}&-\frac{1}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{31}\left(-16\right)+\frac{6}{31}\times 18\\-\frac{5}{31}\left(-16\right)-\frac{1}{31}\times 18\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=4,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-x-6y=-16,5x-y=18$$

Biex tagħmel -x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-1.

$$5\left(-1\right)x+5\left(-6\right)y=5\left(-16\right),-5x-\left(-y\right)=-18$$

Issimplifika.

$$-5x-30y=-80,-5x+y=-18$$

Naqqas -5x+y=-18 minn -5x-30y=-80 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-5x+5x-30y-y=-80+18$$

Żid -5x ma' 5x. -5x u 5x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-30y-y=-80+18$$

Żid -30y ma' -y.

$$-31y=-80+18$$

Żid -80 ma' 18.

$$-31y=-62$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-31.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'5x-y=18. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x-2=18$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=2$$