Issolvi {l}{-x-5y=11}{2x+y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 5 y = 11 } \\ { 2 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{56}{9} = 6\frac{2}{9} \approx 6.222222222$$

$$y = -\frac{31}{9} = -3\frac{4}{9} \approx -3.444444444$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-x-5y=11$$

Żid 5y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=5y+11$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=-\left(5y+11\right)$$

Immultiplika -1 b'5y+11.

$$x=-5y-11$$

Issostitwixxi -5y-11 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+y=9.

$$2\left(-5y-11\right)+y=9$$

Immultiplika 2 b'-5y-11.

$$-10y-22+y=9$$

Żid -10y ma' y.

$$-9y-22=9$$

Żid 22 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-9y=31$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-9.

$$y=-\frac{31}{9}$$

Issostitwixxi -\frac{31}{9} għal y f'x=-5y-11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-5\left(-\frac{31}{9}\right)-11$$

Immultiplika -5 b'-\frac{31}{9}.

$$x=\frac{155}{9}-11$$

Żid -11 ma' \frac{155}{9}.

$$x=\frac{56}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-1-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 11+\frac{5}{9}\times 9\\-\frac{2}{9}\times 11-\frac{1}{9}\times 9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{56}{9}\\-\frac{31}{9}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

Biex tagħmel -x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\times 11,-2x-y=-9$$

Issimplifika.

$$-2x-10y=22,-2x-y=-9$$

Naqqas -2x-y=-9 minn -2x-10y=22 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2x+2x-10y+y=22+9$$

Żid -2x ma' 2x. -2x u 2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-10y+y=22+9$$

Żid -10y ma' y.

$$-9y=22+9$$

Żid 22 ma' 9.

$$-9y=31$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-9.

$$y=-\frac{31}{9}$$

Issostitwixxi -\frac{31}{9} għal y f'2x+y=9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-\frac{31}{9}=9$$

Żid \frac{31}{9} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=\frac{112}{9}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{56}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$