Issolvi {l}{-x-3y=6}{2x+3y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 3 y = 6 } \\ { 2 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=9$$

$$y=-5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-x-3y=6$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=3y+6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=-\left(3y+6\right)$$

Immultiplika -1 b'6+3y.

$$x=-3y-6$$

Issostitwixxi -3y-6 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+3y=3.

$$2\left(-3y-6\right)+3y=3$$

Immultiplika 2 b'-3y-6.

$$-6y-12+3y=3$$

Żid -6y ma' 3y.

$$-3y-12=3$$

Żid 12 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3y=15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=-5$$

Issostitwixxi -5 għal y f'x=-3y-6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-3\left(-5\right)-6$$

Immultiplika -3 b'-5.

$$x=15-6$$

Żid -6 ma' 15.

$$x=9$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=9,y=-5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{-3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{1}{-3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+3\\-\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=9,y=-5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

Biex tagħmel -x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-3\right)y=2\times 6,-2x-3y=-3$$

Issimplifika.

$$-2x-6y=12,-2x-3y=-3$$

Naqqas -2x-3y=-3 minn -2x-6y=12 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2x+2x-6y+3y=12+3$$

Żid -2x ma' 2x. -2x u 2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-6y+3y=12+3$$

Żid -6y ma' 3y.

$$-3y=12+3$$

Żid 12 ma' 3.

$$-3y=15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=-5$$

Issostitwixxi -5 għal y f'2x+3y=3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+3\left(-5\right)=3$$

Immultiplika 3 b'-5.

$$2x-15=3$$

Żid 15 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=9$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=9,y=-5$$