Issolvi {l}{-x-2y=-10}{-7x-8y=-16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = - 10 } \\ { - 7 x - 8 y = - 16 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-8$$

$$y=9$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-x-2y=-10,-7x-8y=-16$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-x-2y=-10$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=2y-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=-\left(2y-10\right)$$

Immultiplika -1 b'-10+2y.

$$x=-2y+10$$

Issostitwixxi -2y+10 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -7x-8y=-16.

$$-7\left(-2y+10\right)-8y=-16$$

Immultiplika -7 b'-2y+10.

$$14y-70-8y=-16$$

Żid 14y ma' -8y.

$$6y-70=-16$$

Żid 70 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6y=54$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$y=9$$

Issostitwixxi 9 għal y f'x=-2y+10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\times 9+10$$

Immultiplika -2 b'9.

$$x=-18+10$$

Żid 10 ma' -18.

$$x=-8$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-8,y=9$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-x-2y=-10,-7x-8y=-16$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{1}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{7}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\left(-10\right)-\frac{1}{3}\left(-16\right)\\-\frac{7}{6}\left(-10\right)+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-8,y=9$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-x-2y=-10,-7x-8y=-16$$

Biex tagħmel -x u -7x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-7 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-1.

$$-7\left(-1\right)x-7\left(-2\right)y=-7\left(-10\right),-\left(-7\right)x-\left(-8y\right)=-\left(-16\right)$$

Issimplifika.

$$7x+14y=70,7x+8y=16$$

Naqqas 7x+8y=16 minn 7x+14y=70 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$7x-7x+14y-8y=70-16$$

Żid 7x ma' -7x. 7x u -7x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$14y-8y=70-16$$

Żid 14y ma' -8y.

$$6y=70-16$$

Żid 70 ma' -16.

$$6y=54$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$y=9$$

Issostitwixxi 9 għal y f'-7x-8y=-16. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-7x-8\times 9=-16$$

Immultiplika -8 b'9.

$$-7x-72=-16$$

Żid 72 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-7x=56$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$x=-8$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-8,y=9$$