Issolvi {l}{-x+3/4y=7}{4x-y=-16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + \frac { 3 } { 4 } y = 7 } \\ { 4 x - y = - 16 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y=6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-x+\frac{3}{4}y=7$$

Naqqas \frac{3y}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-\frac{3}{4}y+7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=-\left(-\frac{3}{4}y+7\right)$$

Immultiplika -1 b'-\frac{3y}{4}+7.

$$x=\frac{3}{4}y-7$$

Issostitwixxi \frac{3y}{4}-7 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x-y=-16.

$$4\left(\frac{3}{4}y-7\right)-y=-16$$

Immultiplika 4 b'\frac{3y}{4}-7.

$$3y-28-y=-16$$

Żid 3y ma' -y.

$$2y-28=-16$$

Żid 28 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2y=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=6$$

Issostitwixxi 6 għal y f'x=\frac{3}{4}y-7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{4}\times 6-7$$

Immultiplika \frac{3}{4} b'6.

$$x=\frac{9}{2}-7$$

Żid -7 ma' \frac{9}{2}.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}&-\frac{\frac{3}{4}}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}\\-\frac{4}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}&-\frac{1}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{8}\\2&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{8}\left(-16\right)\\2\times 7+\frac{1}{2}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\6\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

Biex tagħmel -x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-1.

$$4\left(-1\right)x+4\times \frac{3}{4}y=4\times 7,-4x-\left(-y\right)=-\left(-16\right)$$

Issimplifika.

$$-4x+3y=28,-4x+y=16$$

Naqqas -4x+y=16 minn -4x+3y=28 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-4x+4x+3y-y=28-16$$

Żid -4x ma' 4x. -4x u 4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3y-y=28-16$$

Żid 3y ma' -y.

$$2y=28-16$$

Żid 28 ma' -16.

$$2y=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=6$$

Issostitwixxi 6 għal y f'4x-y=-16. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x-6=-16$$

Żid 6 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$