Issolvi {l}{-9x-y=-3}{-8x+2y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - y = - 3 } \\ { - 8 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=-6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-9x-y=-3$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-9x=y-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(y-3\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{9} b'y-3.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{y}{9}+\frac{1}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -8x+2y=-20.

$$-8\left(-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}\right)+2y=-20$$

Immultiplika -8 b'-\frac{y}{9}+\frac{1}{3}.

$$\frac{8}{9}y-\frac{8}{3}+2y=-20$$

Żid \frac{8y}{9} ma' 2y.

$$\frac{26}{9}y-\frac{8}{3}=-20$$

Żid \frac{8}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{26}{9}y=-\frac{52}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{26}{9}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-6$$

Issostitwixxi -6 għal y f'x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{1}{3}$$

Immultiplika -\frac{1}{9} b'-6.

$$x=\frac{2+1}{3}$$

Żid \frac{1}{3} ma' \frac{2}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-6$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{-1}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{9}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{4}{13}&\frac{9}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-3\right)-\frac{1}{26}\left(-20\right)\\-\frac{4}{13}\left(-3\right)+\frac{9}{26}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=-6$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

Biex tagħmel -9x u -8x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-8 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-9.

$$-8\left(-9\right)x-8\left(-1\right)y=-8\left(-3\right),-9\left(-8\right)x-9\times 2y=-9\left(-20\right)$$

Issimplifika.

$$72x+8y=24,72x-18y=180$$

Naqqas 72x-18y=180 minn 72x+8y=24 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$72x-72x+8y+18y=24-180$$

Żid 72x ma' -72x. 72x u -72x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$8y+18y=24-180$$

Żid 8y ma' 18y.

$$26y=24-180$$

Żid 24 ma' -180.

$$26y=-156$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'26.

$$y=-6$$

Issostitwixxi -6 għal y f'-8x+2y=-20. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-8x+2\left(-6\right)=-20$$

Immultiplika 2 b'-6.

$$-8x-12=-20$$

Żid 12 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-8x=-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-6$$