Issolvi {l}{-8x-6y=30}{-6x+2y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 6 y = 30 } \\ { - 6 x + 2 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=0$$

$$y=-5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-8x-6y=30$$

Żid 6y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-8x=6y+30$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(6y+30\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{8} b'30+6y.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}$$

Issostitwixxi \frac{-3y-15}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -6x+2y=-10.

$$-6\left(-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}\right)+2y=-10$$

Immultiplika -6 b'\frac{-3y-15}{4}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{45}{2}+2y=-10$$

Żid \frac{9y}{2} ma' 2y.

$$\frac{13}{2}y+\frac{45}{2}=-10$$

Naqqas \frac{45}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{13}{2}y=-\frac{65}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{13}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-5$$

Issostitwixxi -5 għal y f'x=-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-5\right)-\frac{15}{4}$$

Immultiplika -\frac{3}{4} b'-5.

$$x=\frac{15-15}{4}$$

Żid -\frac{15}{4} ma' \frac{15}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=-5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}&-\frac{-6}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}&-\frac{8}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\\-\frac{3}{26}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}\times 30-\frac{3}{26}\left(-10\right)\\-\frac{3}{26}\times 30+\frac{2}{13}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=0,y=-5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

Biex tagħmel -8x u -6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-8.

$$-6\left(-8\right)x-6\left(-6\right)y=-6\times 30,-8\left(-6\right)x-8\times 2y=-8\left(-10\right)$$

Issimplifika.

$$48x+36y=-180,48x-16y=80$$

Naqqas 48x-16y=80 minn 48x+36y=-180 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$48x-48x+36y+16y=-180-80$$

Żid 48x ma' -48x. 48x u -48x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$36y+16y=-180-80$$

Żid 36y ma' 16y.

$$52y=-180-80$$

Żid -180 ma' -80.

$$52y=-260$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'52.

$$y=-5$$

Issostitwixxi -5 għal y f'-6x+2y=-10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-6x+2\left(-5\right)=-10$$

Immultiplika 2 b'-5.

$$-6x-10=-10$$

Żid 10 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-6x=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=-5$$