Issolvi {l}{-6x+5y=1}{x+4y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 5 y = 1 } \\ { x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{46}{29} = 1\frac{17}{29} \approx 1.586206897$$

$$y = \frac{61}{29} = 2\frac{3}{29} \approx 2.103448276$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-6x+5y=1,x+4y=10$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-6x+5y=1$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-6x=-5y+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-5y+1\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{6} b'-5y+1.

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}$$

Issostitwixxi \frac{5y-1}{6} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+4y=10.

$$\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}+4y=10$$

Żid \frac{5y}{6} ma' 4y.

$$\frac{29}{6}y-\frac{1}{6}=10$$

Żid \frac{1}{6} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{29}{6}y=\frac{61}{6}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{29}{6}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{61}{29}$$

Issostitwixxi \frac{61}{29} għal y f'x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{5}{6}\times \frac{61}{29}-\frac{1}{6}$$

Immultiplika \frac{5}{6} b'\frac{61}{29} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{305}{174}-\frac{1}{6}$$

Żid -\frac{1}{6} ma' \frac{305}{174} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{46}{29}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{46}{29},y=\frac{61}{29}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-6x+5y=1,x+4y=10$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-6&5\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-6&5\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&5\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-6\times 4-5}&-\frac{5}{-6\times 4-5}\\-\frac{1}{-6\times 4-5}&-\frac{6}{-6\times 4-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{29}&\frac{5}{29}\\\frac{1}{29}&\frac{6}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{29}+\frac{5}{29}\times 10\\\frac{1}{29}+\frac{6}{29}\times 10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{29}\\\frac{61}{29}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{46}{29},y=\frac{61}{29}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-6x+5y=1,x+4y=10$$

Biex tagħmel -6x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-6.

$$-6x+5y=1,-6x-6\times 4y=-6\times 10$$

Issimplifika.

$$-6x+5y=1,-6x-24y=-60$$

Naqqas -6x-24y=-60 minn -6x+5y=1 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-6x+6x+5y+24y=1+60$$

Żid -6x ma' 6x. -6x u 6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$5y+24y=1+60$$

Żid 5y ma' 24y.

$$29y=1+60$$

Żid 1 ma' 60.

$$29y=61$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'29.

$$y=\frac{61}{29}$$

Issostitwixxi \frac{61}{29} għal y f'x+4y=10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+4\times \frac{61}{29}=10$$

Immultiplika 4 b'\frac{61}{29}.

$$x+\frac{244}{29}=10$$

Naqqas \frac{244}{29} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{46}{29}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{46}{29},y=\frac{61}{29}$$