Issolvi {l}{-6x+10y=28}{7x-10y=-21}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 10 y = 28 } \\ { 7 x - 10 y = - 21 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=7$$

$$y=7$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-6x+10y=28,7x-10y=-21$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-6x+10y=28$$

Naqqas 10y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-6x=-10y+28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-10y+28\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{6} b'-10y+28.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{14}{3}$$

Issostitwixxi \frac{5y-14}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 7x-10y=-21.

$$7\left(\frac{5}{3}y-\frac{14}{3}\right)-10y=-21$$

Immultiplika 7 b'\frac{5y-14}{3}.

$$\frac{35}{3}y-\frac{98}{3}-10y=-21$$

Żid \frac{35y}{3} ma' -10y.

$$\frac{5}{3}y-\frac{98}{3}=-21$$

Żid \frac{98}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{5}{3}y=\frac{35}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{5}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=7$$

Issostitwixxi 7 għal y f'x=\frac{5}{3}y-\frac{14}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{5}{3}\times 7-\frac{14}{3}$$

Immultiplika \frac{5}{3} b'7.

$$x=\frac{35-14}{3}$$

Żid -\frac{14}{3} ma' \frac{35}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=7$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=7,y=7$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-6x+10y=28,7x-10y=-21$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{-6\left(-10\right)-10\times 7}&-\frac{10}{-6\left(-10\right)-10\times 7}\\-\frac{7}{-6\left(-10\right)-10\times 7}&-\frac{6}{-6\left(-10\right)-10\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{7}{10}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28-21\\\frac{7}{10}\times 28+\frac{3}{5}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=7,y=7$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-6x+10y=28,7x-10y=-21$$

Biex tagħmel -6x u 7x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'7 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-6.

$$7\left(-6\right)x+7\times 10y=7\times 28,-6\times 7x-6\left(-10\right)y=-6\left(-21\right)$$

Issimplifika.

$$-42x+70y=196,-42x+60y=126$$

Naqqas -42x+60y=126 minn -42x+70y=196 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-42x+42x+70y-60y=196-126$$

Żid -42x ma' 42x. -42x u 42x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$70y-60y=196-126$$

Żid 70y ma' -60y.

$$10y=196-126$$

Żid 196 ma' -126.

$$10y=70$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'10.

$$y=7$$

Issostitwixxi 7 għal y f'7x-10y=-21. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$7x-10\times 7=-21$$

Immultiplika -10 b'7.

$$7x-70=-21$$

Żid 70 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=49$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=7$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=7,y=7$$