Issolvi {l}{-5x-8y=8}{-5x+6y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x - 8 y = 8 } \\ { - 5 x + 6 y = - 6 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=0$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-5x-8y=8,-5x+6y=-6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-5x-8y=8$$

Żid 8y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5x=8y+8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(8y+8\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{5} b'8+8y.

$$x=-\frac{8}{5}y-\frac{8}{5}$$

Issostitwixxi \frac{-8y-8}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -5x+6y=-6.

$$-5\left(-\frac{8}{5}y-\frac{8}{5}\right)+6y=-6$$

Immultiplika -5 b'\frac{-8y-8}{5}.

$$8y+8+6y=-6$$

Żid 8y ma' 6y.

$$14y+8=-6$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$14y=-14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'14.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=-\frac{8}{5}y-\frac{8}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{8}{5}\left(-1\right)-\frac{8}{5}$$

Immultiplika -\frac{8}{5} b'-1.

$$x=\frac{8-8}{5}$$

Żid -\frac{8}{5} ma' \frac{8}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-5x-8y=8,-5x+6y=-6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-5\times 6-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{-8}{-5\times 6-\left(-8\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-5\times 6-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 6-\left(-8\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{35}&-\frac{4}{35}\\-\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{35}\times 8-\frac{4}{35}\left(-6\right)\\-\frac{1}{14}\times 8+\frac{1}{14}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=0,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-5x-8y=8,-5x+6y=-6$$

Naqqas -5x+6y=-6 minn -5x-8y=8 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-5x+5x-8y-6y=8+6$$

Żid -5x ma' 5x. -5x u 5x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-8y-6y=8+6$$

Żid -8y ma' -6y.

$$-14y=8+6$$

Żid 8 ma' 6.

$$-14y=14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-14.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'-5x+6y=-6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-5x+6\left(-1\right)=-6$$

Immultiplika 6 b'-1.

$$-5x-6=-6$$

Żid 6 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5x=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=-1$$