Issolvi {l}{-5x-3y-9=0}{4x-18y-54=0}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x - 3 y - 9 = 0 } \\ { 4 x - 18 y - 54 = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-5x-3y-9=0$$

Żid 9 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5x-3y=9$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5x=3y+9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(3y+9\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{5} b'9+3y.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}$$

Issostitwixxi \frac{-3y-9}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x-18y-54=0.

$$4\left(-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}\right)-18y-54=0$$

Immultiplika 4 b'\frac{-3y-9}{5}.

$$-\frac{12}{5}y-\frac{36}{5}-18y-54=0$$

Żid -\frac{12y}{5} ma' -18y.

$$-\frac{102}{5}y-\frac{36}{5}-54=0$$

Żid -\frac{36}{5} ma' -54.

$$-\frac{102}{5}y-\frac{306}{5}=0$$

Żid \frac{306}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{102}{5}y=\frac{306}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{102}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'x=-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{5}\left(-3\right)-\frac{9}{5}$$

Immultiplika -\frac{3}{5} b'-3.

$$x=\frac{9-9}{5}$$

Żid -\frac{9}{5} ma' \frac{9}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{5}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}&\frac{1}{34}\\-\frac{2}{51}&-\frac{5}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}\times 9+\frac{1}{34}\times 54\\-\frac{2}{51}\times 9-\frac{5}{102}\times 54\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=0,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

Biex tagħmel -5x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-5.

$$4\left(-5\right)x+4\left(-3\right)y+4\left(-9\right)=0,-5\times 4x-5\left(-18\right)y-5\left(-54\right)=0$$

Issimplifika.

$$-20x-12y-36=0,-20x+90y+270=0$$

Naqqas -20x+90y+270=0 minn -20x-12y-36=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-20x+20x-12y-90y-36-270=0$$

Żid -20x ma' 20x. -20x u 20x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-12y-90y-36-270=0$$

Żid -12y ma' -90y.

$$-102y-36-270=0$$

Żid -36 ma' -270.

$$-102y-306=0$$

Żid 306 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-102y=306$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-102.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'4x-18y-54=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x-18\left(-3\right)-54=0$$

Immultiplika -18 b'-3.

$$4x+54-54=0$$

Żid 54 ma' -54.

$$4x=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=-3$$