Issolvi {l}{-5x+13y=-7}{5x+4y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 13 y = - 7 } \\ { 5 x + 4 y = 24 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=4$$

$$y=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-5x+13y=-7$$

Naqqas 13y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5x=-13y-7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-13y-7\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{5} b'-13y-7.

$$x=\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}$$

Issostitwixxi \frac{13y+7}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x+4y=24.

$$5\left(\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}\right)+4y=24$$

Immultiplika 5 b'\frac{13y+7}{5}.

$$13y+7+4y=24$$

Żid 13y ma' 4y.

$$17y+7=24$$

Naqqas 7 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$17y=17$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'17.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'x=\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{13+7}{5}$$

Żid \frac{7}{5} ma' \frac{13}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-5\times 4-13\times 5}&-\frac{13}{-5\times 4-13\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 4-13\times 5}&-\frac{5}{-5\times 4-13\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{85}&\frac{13}{85}\\\frac{1}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{85}\left(-7\right)+\frac{13}{85}\times 24\\\frac{1}{17}\left(-7\right)+\frac{1}{17}\times 24\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=4,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

Biex tagħmel -5x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-5.

$$5\left(-5\right)x+5\times 13y=5\left(-7\right),-5\times 5x-5\times 4y=-5\times 24$$

Issimplifika.

$$-25x+65y=-35,-25x-20y=-120$$

Naqqas -25x-20y=-120 minn -25x+65y=-35 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-25x+25x+65y+20y=-35+120$$

Żid -25x ma' 25x. -25x u 25x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$65y+20y=-35+120$$

Żid 65y ma' 20y.

$$85y=-35+120$$

Żid -35 ma' 120.

$$85y=85$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'85.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'5x+4y=24. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x+4=24$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=1$$