Issolvi {l}{-5*(x-y)+3y=2x}{2y-(6x+7)=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 \cdot ( x - y ) + 3 y = 2 x } \\ { 2 y - ( 6 x + 7 ) = - 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{20}{17} = -1\frac{3}{17} \approx -1.176470588$$

$$y = -\frac{35}{34} = -1\frac{1}{34} \approx -1.029411765$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -5 b'x-y.

$$-5x+5y+3y=2x$$

Ikkombina 5y u 3y biex tikseb 8y.

$$-5x+8y=2x$$

Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$-5x+8y-2x=0$$

Ikkombina -5x u -2x biex tikseb -7x.

$$-7x+8y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Biex issib l-oppost ta' 6x+7, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$2y-6x-7=-2$$

Żid 7 maż-żewġ naħat.

$$2y-6x=-2+7$$

Żid -2 u 7 biex tikseb 5.

$$2y-6x=5$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-7x+8y=0$$

Naqqas 8y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-7x=-8y$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-8\right)y$$

Immultiplika -\frac{1}{7} b'-8y.

$$x=\frac{8}{7}y$$

Issostitwixxi \frac{8y}{7} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -6x+2y=5.

$$-6\times \frac{8}{7}y+2y=5$$

Immultiplika -6 b'\frac{8y}{7}.

$$-\frac{48}{7}y+2y=5$$

Żid -\frac{48y}{7} ma' 2y.

$$-\frac{34}{7}y=5$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{34}{7}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{35}{34}$$

Issostitwixxi -\frac{35}{34} għal y f'x=\frac{8}{7}y. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{8}{7}\left(-\frac{35}{34}\right)$$

Immultiplika \frac{8}{7} b'-\frac{35}{34} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{20}{17}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -5 b'x-y.

$$-5x+5y+3y=2x$$

Ikkombina 5y u 3y biex tikseb 8y.

$$-5x+8y=2x$$

Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$-5x+8y-2x=0$$

Ikkombina -5x u -2x biex tikseb -7x.

$$-7x+8y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Biex issib l-oppost ta' 6x+7, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$2y-6x-7=-2$$

Żid 7 maż-żewġ naħat.

$$2y-6x=-2+7$$

Żid -2 u 7 biex tikseb 5.

$$2y-6x=5$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{7}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{4}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{7}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{17}\times 5\\-\frac{7}{34}\times 5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{17}\\-\frac{35}{34}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -5 b'x-y.

$$-5x+5y+3y=2x$$

Ikkombina 5y u 3y biex tikseb 8y.

$$-5x+8y=2x$$

Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$-5x+8y-2x=0$$

Ikkombina -5x u -2x biex tikseb -7x.

$$-7x+8y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Biex issib l-oppost ta' 6x+7, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$2y-6x-7=-2$$

Żid 7 maż-żewġ naħat.

$$2y-6x=-2+7$$

Żid -2 u 7 biex tikseb 5.

$$2y-6x=5$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

Biex tagħmel -7x u -6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-7.

$$-6\left(-7\right)x-6\times 8y=0,-7\left(-6\right)x-7\times 2y=-7\times 5$$

Issimplifika.

$$42x-48y=0,42x-14y=-35$$

Naqqas 42x-14y=-35 minn 42x-48y=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$42x-42x-48y+14y=35$$

Żid 42x ma' -42x. 42x u -42x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-48y+14y=35$$

Żid -48y ma' 14y.

$$-34y=35$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-34.

$$y=-\frac{35}{34}$$

Issostitwixxi -\frac{35}{34} għal y f'-6x+2y=5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-6x+2\left(-\frac{35}{34}\right)=5$$

Immultiplika 2 b'-\frac{35}{34}.

$$-6x-\frac{35}{17}=5$$

Żid \frac{35}{17} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-6x=\frac{120}{17}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$x=-\frac{20}{17}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$