Issolvi {l}{-4x-10y=20}{8x+10y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x - 10 y = 20 } \\ { 8 x + 10 y = 20 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=10$$

$$y=-6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-4x-10y=20$$

Żid 10y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4x=10y+20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(10y+20\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{4} b'20+10y.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

Issostitwixxi -\frac{5y}{2}-5 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 8x+10y=20.

$$8\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+10y=20$$

Immultiplika 8 b'-\frac{5y}{2}-5.

$$-20y-40+10y=20$$

Żid -20y ma' 10y.

$$-10y-40=20$$

Żid 40 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-10y=60$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-10.

$$y=-6$$

Issostitwixxi -6 għal y f'x=-\frac{5}{2}y-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-6\right)-5$$

Immultiplika -\frac{5}{2} b'-6.

$$x=15-5$$

Żid -5 ma' 15.

$$x=10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=10,y=-6$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{-10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\\-\frac{8}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{4}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\-\frac{1}{5}\times 20-\frac{1}{10}\times 20\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-6\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=10,y=-6$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

Biex tagħmel -4x u 8x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'8 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-4.

$$8\left(-4\right)x+8\left(-10\right)y=8\times 20,-4\times 8x-4\times 10y=-4\times 20$$

Issimplifika.

$$-32x-80y=160,-32x-40y=-80$$

Naqqas -32x-40y=-80 minn -32x-80y=160 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-32x+32x-80y+40y=160+80$$

Żid -32x ma' 32x. -32x u 32x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-80y+40y=160+80$$

Żid -80y ma' 40y.

$$-40y=160+80$$

Żid 160 ma' 80.

$$-40y=240$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-40.

$$y=-6$$

Issostitwixxi -6 għal y f'8x+10y=20. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$8x+10\left(-6\right)=20$$

Immultiplika 10 b'-6.

$$8x-60=20$$

Żid 60 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$8x=80$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$x=10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=10,y=-6$$