Issolvi {l}{-4x+7y+5=0}{x-3y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 7 y + 5 = 0 } \\ { x - 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=10$$

$$y=5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-4x+7y+5=0,x-3y=-5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-4x+7y+5=0$$

Naqqas 5 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4x+7y=-5$$

Naqqas 7y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4x=-7y-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-7y-5\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{4} b'-7y-5.

$$x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}$$

Issostitwixxi \frac{7y+5}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x-3y=-5.

$$\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}-3y=-5$$

Żid \frac{7y}{4} ma' -3y.

$$-\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=-5$$

Naqqas \frac{5}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{5}{4}y=-\frac{25}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{5}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{7}{4}\times 5+\frac{5}{4}$$

Immultiplika \frac{7}{4} b'5.

$$x=\frac{35+5}{4}$$

Żid \frac{5}{4} ma' \frac{35}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=10,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-4x+7y+5=0,x-3y=-5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-4\left(-3\right)-7}&-\frac{7}{-4\left(-3\right)-7}\\-\frac{1}{-4\left(-3\right)-7}&-\frac{4}{-4\left(-3\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&-\frac{7}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\left(-5\right)-\frac{7}{5}\left(-5\right)\\-\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{4}{5}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=10,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-4x+7y+5=0,x-3y=-5$$

Biex tagħmel -4x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-4.

$$-4x+7y+5=0,-4x-4\left(-3\right)y=-4\left(-5\right)$$

Issimplifika.

$$-4x+7y+5=0,-4x+12y=20$$

Naqqas -4x+12y=20 minn -4x+7y+5=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-4x+4x+7y-12y+5=-20$$

Żid -4x ma' 4x. -4x u 4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$7y-12y+5=-20$$

Żid 7y ma' -12y.

$$-5y+5=-20$$

Naqqas 5 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5y=-25$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'x-3y=-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x-3\times 5=-5$$

Immultiplika -3 b'5.

$$x-15=-5$$

Żid 15 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=10,y=5$$