Issolvi {l}{-4x+5y=24}{y=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 5 y = 24 } \\ { y = 2 x } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=4$$

$$y=8$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-4x+5y=24$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4x=-5y+24$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-5y+24\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{4} b'-5y+24.

$$x=\frac{5}{4}y-6$$

Issostitwixxi \frac{5y}{4}-6 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x+y=0.

$$-2\left(\frac{5}{4}y-6\right)+y=0$$

Immultiplika -2 b'\frac{5y}{4}-6.

$$-\frac{5}{2}y+12+y=0$$

Żid -\frac{5y}{2} ma' y.

$$-\frac{3}{2}y+12=0$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{3}{2}y=-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{3}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=8$$

Issostitwixxi 8 għal y f'x=\frac{5}{4}y-6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{5}{4}\times 8-6$$

Immultiplika \frac{5}{4} b'8.

$$x=10-6$$

Żid -6 ma' 10.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=8$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-4-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-4-5\left(-2\right)}&-\frac{4}{-4-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 24\\\frac{1}{3}\times 24\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=4,y=8$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

Biex tagħmel -4x u -2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-4.

$$-2\left(-4\right)x-2\times 5y=-2\times 24,-4\left(-2\right)x-4y=0$$

Issimplifika.

$$8x-10y=-48,8x-4y=0$$

Naqqas 8x-4y=0 minn 8x-10y=-48 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$8x-8x-10y+4y=-48$$

Żid 8x ma' -8x. 8x u -8x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-10y+4y=-48$$

Żid -10y ma' 4y.

$$-6y=-48$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$y=8$$

Issostitwixxi 8 għal y f'-2x+y=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2x+8=0$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=8$$