Issolvi {l}{-3x-y=2x-1}{-3(2x+5y)=x+y-30}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - y = 2 x - 1 } \\ { - 3 ( 2 x + 5 y ) = x + y - 30 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-\frac{14}{73}\approx -0.191780822$$

$$y = \frac{143}{73} = 1\frac{70}{73} \approx 1.95890411$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$-3x-y-2x=-1$$

Ikkombina -3x u -2x biex tikseb -5x.

$$-5x-y=-1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -3 b'2x+5y.

$$-6x-15y=x+y-30$$

Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$-6x-15y-x=y-30$$

Ikkombina -6x u -x biex tikseb -7x.

$$-7x-15y=y-30$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$-7x-15y-y=-30$$

Ikkombina -15y u -y biex tikseb -16y.

$$-7x-16y=-30$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-5x-y=-1$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5x=y-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(y-1\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{5} b'y-1.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}$$

Issostitwixxi \frac{-y+1}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -7x-16y=-30.

$$-7\left(-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}\right)-16y=-30$$

Immultiplika -7 b'\frac{-y+1}{5}.

$$\frac{7}{5}y-\frac{7}{5}-16y=-30$$

Żid \frac{7y}{5} ma' -16y.

$$-\frac{73}{5}y-\frac{7}{5}=-30$$

Żid \frac{7}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{73}{5}y=-\frac{143}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{73}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{143}{73}$$

Issostitwixxi \frac{143}{73} għal y f'x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{143}{73}+\frac{1}{5}$$

Immultiplika -\frac{1}{5} b'\frac{143}{73} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{143}{365}+\frac{1}{5}$$

Żid \frac{1}{5} ma' -\frac{143}{365} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-\frac{14}{73}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$-3x-y-2x=-1$$

Ikkombina -3x u -2x biex tikseb -5x.

$$-5x-y=-1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -3 b'2x+5y.

$$-6x-15y=x+y-30$$

Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$-6x-15y-x=y-30$$

Ikkombina -6x u -x biex tikseb -7x.

$$-7x-15y=y-30$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$-7x-15y-y=-30$$

Ikkombina -15y u -y biex tikseb -16y.

$$-7x-16y=-30$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{-1}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{5}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}&\frac{1}{73}\\\frac{7}{73}&-\frac{5}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}\left(-1\right)+\frac{1}{73}\left(-30\right)\\\frac{7}{73}\left(-1\right)-\frac{5}{73}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{73}\\\frac{143}{73}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$-3x-y-2x=-1$$

Ikkombina -3x u -2x biex tikseb -5x.

$$-5x-y=-1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -3 b'2x+5y.

$$-6x-15y=x+y-30$$

Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$-6x-15y-x=y-30$$

Ikkombina -6x u -x biex tikseb -7x.

$$-7x-15y=y-30$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$-7x-15y-y=-30$$

Ikkombina -15y u -y biex tikseb -16y.

$$-7x-16y=-30$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

Biex tagħmel -5x u -7x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-7 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-5.

$$-7\left(-5\right)x-7\left(-1\right)y=-7\left(-1\right),-5\left(-7\right)x-5\left(-16\right)y=-5\left(-30\right)$$

Issimplifika.

$$35x+7y=7,35x+80y=150$$

Naqqas 35x+80y=150 minn 35x+7y=7 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$35x-35x+7y-80y=7-150$$

Żid 35x ma' -35x. 35x u -35x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$7y-80y=7-150$$

Żid 7y ma' -80y.

$$-73y=7-150$$

Żid 7 ma' -150.

$$-73y=-143$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-73.

$$y=\frac{143}{73}$$

Issostitwixxi \frac{143}{73} għal y f'-7x-16y=-30. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-7x-16\times \frac{143}{73}=-30$$

Immultiplika -16 b'\frac{143}{73}.

$$-7x-\frac{2288}{73}=-30$$

Żid \frac{2288}{73} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-7x=\frac{98}{73}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$x=-\frac{14}{73}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$