Issolvi {l}{-3x+3y=-3}{x-9y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 3 y = - 3 } \\ { x - 9 y = - 15 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-3x+3y=-3$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3x=-3y-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-3y-3\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'-3y-3.

$$x=y+1$$

Issostitwixxi y+1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x-9y=-15.

$$y+1-9y=-15$$

Żid y ma' -9y.

$$-8y+1=-15$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-8y=-16$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x=y+1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=2+1$$

Żid 1 ma' 2.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-3\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{-3\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{-3\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{-3\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{24}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}\left(-3\right)-\frac{1}{8}\left(-15\right)\\-\frac{1}{24}\left(-3\right)-\frac{1}{8}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=3,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

Biex tagħmel -3x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-3.

$$-3x+3y=-3,-3x-3\left(-9\right)y=-3\left(-15\right)$$

Issimplifika.

$$-3x+3y=-3,-3x+27y=45$$

Naqqas -3x+27y=45 minn -3x+3y=-3 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-3x+3x+3y-27y=-3-45$$

Żid -3x ma' 3x. -3x u 3x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3y-27y=-3-45$$

Żid 3y ma' -27y.

$$-24y=-3-45$$

Żid -3 ma' -45.

$$-24y=-48$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-24.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x-9y=-15. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x-9\times 2=-15$$

Immultiplika -9 b'2.

$$x-18=-15$$

Żid 18 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=2$$