Issolvi {l}{-2x-6y=-26}{5x+2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x - 6 y = - 26 } \\ { 5 x + 2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-2x-6y=-26,5x+2y=13$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-2x-6y=-26$$

Żid 6y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=6y-26$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(6y-26\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'6y-26.

$$x=-3y+13$$

Issostitwixxi -3y+13 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x+2y=13.

$$5\left(-3y+13\right)+2y=13$$

Immultiplika 5 b'-3y+13.

$$-15y+65+2y=13$$

Żid -15y ma' 2y.

$$-13y+65=13$$

Naqqas 65 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-13y=-52$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-13.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'x=-3y+13. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-3\times 4+13$$

Immultiplika -3 b'4.

$$x=-12+13$$

Żid 13 ma' -12.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-2x-6y=-26,5x+2y=13$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2\times 2-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{-6}{-2\times 2-\left(-6\times 5\right)}\\-\frac{5}{-2\times 2-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{2}{-2\times 2-\left(-6\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{26}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-26\right)+\frac{3}{13}\times 13\\-\frac{5}{26}\left(-26\right)-\frac{1}{13}\times 13\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-2x-6y=-26,5x+2y=13$$

Biex tagħmel -2x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-2.

$$5\left(-2\right)x+5\left(-6\right)y=5\left(-26\right),-2\times 5x-2\times 2y=-2\times 13$$

Issimplifika.

$$-10x-30y=-130,-10x-4y=-26$$

Naqqas -10x-4y=-26 minn -10x-30y=-130 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-10x+10x-30y+4y=-130+26$$

Żid -10x ma' 10x. -10x u 10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-30y+4y=-130+26$$

Żid -30y ma' 4y.

$$-26y=-130+26$$

Żid -130 ma' 26.

$$-26y=-104$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-26.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'5x+2y=13. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x+2\times 4=13$$

Immultiplika 2 b'4.

$$5x+8=13$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=4$$