Issolvi {l}{-2x-2y=4}{y=-x/5+2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x - 2 y = 4 } \\ { y = - \frac { x } { 5 } + 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-5$$

$$y=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid \frac{x}{5} maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{x}{5}=2$$

Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'5.

$$5y+x=10$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-2x-2y=4,x+5y=10$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-2x-2y=4$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=2y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(2y+4\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'4+2y.

$$x=-y-2$$

Issostitwixxi -y-2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+5y=10.

$$-y-2+5y=10$$

Żid -y ma' 5y.

$$4y-2=10$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4y=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'x=-y-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-3-2$$

Żid -2 ma' -3.

$$x=-5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-5,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid \frac{x}{5} maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{x}{5}=2$$

Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'5.

$$5y+x=10$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-2x-2y=4,x+5y=10$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-2\times 5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-2\times 5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-2\times 5-\left(-2\right)}&-\frac{2}{-2\times 5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}\times 4-\frac{1}{4}\times 10\\\frac{1}{8}\times 4+\frac{1}{4}\times 10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-5,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid \frac{x}{5} maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{x}{5}=2$$

Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'5.

$$5y+x=10$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-2x-2y=4,x+5y=10$$

Biex tagħmel -2x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-2.

$$-2x-2y=4,-2x-2\times 5y=-2\times 10$$

Issimplifika.

$$-2x-2y=4,-2x-10y=-20$$

Naqqas -2x-10y=-20 minn -2x-2y=4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2x+2x-2y+10y=4+20$$

Żid -2x ma' 2x. -2x u 2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-2y+10y=4+20$$

Żid -2y ma' 10y.

$$8y=4+20$$

Żid 4 ma' 20.

$$8y=24$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'x+5y=10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+5\times 3=10$$

Immultiplika 5 b'3.

$$x+15=10$$

Naqqas 15 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-5,y=3$$