Issolvi {l}{-2x+7y=4}{-4x+3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 7 y = 4 } \\ { - 4 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

$$y=\frac{6}{11}\approx 0.545454545$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-2x+7y=4$$

Naqqas 7y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=-7y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+4\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'-7y+4.

$$x=\frac{7}{2}y-2$$

Issostitwixxi \frac{7y}{2}-2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -4x+3y=2.

$$-4\left(\frac{7}{2}y-2\right)+3y=2$$

Immultiplika -4 b'\frac{7y}{2}-2.

$$-14y+8+3y=2$$

Żid -14y ma' 3y.

$$-11y+8=2$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-11y=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-11.

$$y=\frac{6}{11}$$

Issostitwixxi \frac{6}{11} għal y f'x=\frac{7}{2}y-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{6}{11}-2$$

Immultiplika \frac{7}{2} b'\frac{6}{11} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{21}{11}-2$$

Żid -2 ma' \frac{21}{11}.

$$x=-\frac{1}{11}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), biex l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala l-problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{7}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&-\frac{7}{22}\\\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 4-\frac{7}{22}\times 2\\\frac{2}{11}\times 4-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\\\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

Biex tagħmel -2x u -4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-2.

$$-4\left(-2\right)x-4\times 7y=-4\times 4,-2\left(-4\right)x-2\times 3y=-2\times 2$$

Issimplifika.

$$8x-28y=-16,8x-6y=-4$$

Naqqas 8x-6y=-4 minn 8x-28y=-16 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$8x-8x-28y+6y=-16+4$$

Żid 8x ma' -8x. 8x u -8x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-28y+6y=-16+4$$

Żid -28y ma' 6y.

$$-22y=-16+4$$

Żid -16 ma' 4.

$$-22y=-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-22.

$$y=\frac{6}{11}$$

Issostitwixxi \frac{6}{11} għal y f'-4x+3y=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-4x+3\times \frac{6}{11}=2$$

Immultiplika 3 b'\frac{6}{11}.

$$-4x+\frac{18}{11}=2$$

Naqqas \frac{18}{11} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4x=\frac{4}{11}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$x=-\frac{1}{11}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$