Issolvi {l}{-15B-3A=-14}{-5A+B=7}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 B - 3 A = - 14 } \\ { - 5 A + B = 7 } \end{array} \right.$$

Solvi għal B, A

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal B billi tiżola B fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-15B-3A=-14$$

Żid 3A maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-15B=3A-14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-15.

$$B=-\frac{1}{15}\left(3A-14\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{15} b'3A-14.

$$B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}$$

Issostitwixxi -\frac{A}{5}+\frac{14}{15} għal B fl-ekwazzjoni l-oħra, B-5A=7.

$$-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}-5A=7$$

Żid -\frac{A}{5} ma' -5A.

$$-\frac{26}{5}A+\frac{14}{15}=7$$

Naqqas \frac{14}{15} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{26}{5}A=\frac{91}{15}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{26}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$A=-\frac{7}{6}$$

Issostitwixxi -\frac{7}{6} għal A f'B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal B direttament.

$$B=-\frac{1}{5}\left(-\frac{7}{6}\right)+\frac{14}{15}$$

Immultiplika -\frac{1}{5} b'-\frac{7}{6} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$B=\frac{7}{30}+\frac{14}{15}$$

Żid \frac{14}{15} ma' \frac{7}{30} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$B=\frac{7}{6}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&\frac{1}{26}\\-\frac{1}{78}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\left(-14\right)+\frac{1}{26}\times 7\\-\frac{1}{78}\left(-14\right)-\frac{5}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{6}\\-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi B u A.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

Biex tagħmel -15B u B ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-15.

$$-15B-3A=-14,-15B-15\left(-5\right)A=-15\times 7$$

Issimplifika.

$$-15B-3A=-14,-15B+75A=-105$$

Naqqas -15B+75A=-105 minn -15B-3A=-14 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-15B+15B-3A-75A=-14+105$$

Żid -15B ma' 15B. -15B u 15B jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-3A-75A=-14+105$$

Żid -3A ma' -75A.

$$-78A=-14+105$$

Żid -14 ma' 105.

$$-78A=91$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-78.

$$A=-\frac{7}{6}$$

Issostitwixxi -\frac{7}{6} għal A f'B-5A=7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal B direttament.

$$B-5\left(-\frac{7}{6}\right)=7$$

Immultiplika -5 b'-\frac{7}{6}.

$$B+\frac{35}{6}=7$$

Naqqas \frac{35}{6} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$B=\frac{7}{6}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$