Issolvi {l}{-15A+3B=21}{-15B-3A=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 A + 3 B = 21 } \\ { - 15 B - 3 A = - 14 } \end{array} \right.$$

Solvi għal A, B

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal A billi tiżola A fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-15A+3B=21$$

Naqqas 3B miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-15A=-3B+21$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-15.

$$A=-\frac{1}{15}\left(-3B+21\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{15} b'-3B+21.

$$A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}$$

Issostitwixxi \frac{-7+B}{5} għal A fl-ekwazzjoni l-oħra, -3A-15B=-14.

$$-3\left(\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}\right)-15B=-14$$

Immultiplika -3 b'\frac{-7+B}{5}.

$$-\frac{3}{5}B+\frac{21}{5}-15B=-14$$

Żid -\frac{3B}{5} ma' -15B.

$$-\frac{78}{5}B+\frac{21}{5}=-14$$

Naqqas \frac{21}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{78}{5}B=-\frac{91}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{78}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$B=\frac{7}{6}$$

Issostitwixxi \frac{7}{6} għal B f'A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal A direttament.

$$A=\frac{1}{5}\times \frac{7}{6}-\frac{7}{5}$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'\frac{7}{6} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$A=\frac{7}{30}-\frac{7}{5}$$

Żid -\frac{7}{5} ma' \frac{7}{30} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$A=-\frac{7}{6}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&-\frac{1}{78}\\\frac{1}{78}&-\frac{5}{78}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\times 21-\frac{1}{78}\left(-14\right)\\\frac{1}{78}\times 21-\frac{5}{78}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi A u B.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

Biex tagħmel -15A u -3A ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-15.

$$-3\left(-15\right)A-3\times 3B=-3\times 21,-15\left(-3\right)A-15\left(-15\right)B=-15\left(-14\right)$$

Issimplifika.

$$45A-9B=-63,45A+225B=210$$

Naqqas 45A+225B=210 minn 45A-9B=-63 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$45A-45A-9B-225B=-63-210$$

Żid 45A ma' -45A. 45A u -45A jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-9B-225B=-63-210$$

Żid -9B ma' -225B.

$$-234B=-63-210$$

Żid -63 ma' -210.

$$-234B=-273$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-234.

$$B=\frac{7}{6}$$

Issostitwixxi \frac{7}{6} għal B f'-3A-15B=-14. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal A direttament.

$$-3A-15\times \frac{7}{6}=-14$$

Immultiplika -15 b'\frac{7}{6}.

$$-3A-\frac{35}{2}=-14$$

Żid \frac{35}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3A=\frac{7}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$A=-\frac{7}{6}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$