Issolvi {l}{-0.5x+0.1y=350}{0.4x+0.2y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.5 x + 0.1 y = 350 } \\ { 0.4 x + 0.2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-500$$

$$y=1000$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-0.5x+0.1y=350$$

Naqqas \frac{y}{10} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-0.5x=-0.1y+350$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-2\left(-0.1y+350\right)$$

Immultiplika -2 b'-\frac{y}{10}+350.

$$x=0.2y-700$$

Issostitwixxi \frac{y}{5}-700 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 0.4x+0.2y=0.

$$0.4\left(0.2y-700\right)+0.2y=0$$

Immultiplika 0.4 b'\frac{y}{5}-700.

$$0.08y-280+0.2y=0$$

Żid \frac{2y}{25} ma' \frac{y}{5}.

$$0.28y-280=0$$

Żid 280 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$0.28y=280$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'0.28, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=1000$$

Issostitwixxi 1000 għal y f'x=0.2y-700. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=0.2\times 1000-700$$

Immultiplika 0.2 b'1000.

$$x=200-700$$

Żid -700 ma' 200.

$$x=-500$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-500,y=1000$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.1}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\\-\frac{0.4}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.5}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{20}{7}&\frac{25}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\times 350\\\frac{20}{7}\times 350\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\1000\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-500,y=1000$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

Biex tagħmel -\frac{x}{2} u \frac{2x}{5} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'0.4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-0.5.

$$0.4\left(-0.5\right)x+0.4\times 0.1y=0.4\times 350,-0.5\times 0.4x-0.5\times 0.2y=0$$

Issimplifika.

$$-0.2x+0.04y=140,-0.2x-0.1y=0$$

Naqqas -0.2x-0.1y=0 minn -0.2x+0.04y=140 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-0.2x+0.2x+0.04y+0.1y=140$$

Żid -\frac{x}{5} ma' \frac{x}{5}. -\frac{x}{5} u \frac{x}{5} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$0.04y+0.1y=140$$

Żid \frac{y}{25} ma' \frac{y}{10}.

$$0.14y=140$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'0.14, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=1000$$

Issostitwixxi 1000 għal y f'0.4x+0.2y=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$0.4x+0.2\times 1000=0$$

Immultiplika 0.2 b'1000.

$$0.4x+200=0$$

Naqqas 200 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$0.4x=-200$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'0.4, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=-500$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-500,y=1000$$