Issolvi {l}{-0.1x-0.7y-610=0}{-0.8x+0.5y+920=0}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.1 x - 0.7 y - 610 = 0 } \\ { - 0.8 x + 0.5 y + 920 = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{33900}{61} = 555\frac{45}{61} \approx 555.737704918$$

$$y = -\frac{58000}{61} = -950\frac{50}{61} \approx -950.819672131$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-0.1x-0.7y-610=0,-0.8x+0.5y+920=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-0.1x-0.7y-610=0$$

Żid 610 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-0.1x-0.7y=610$$

Żid \frac{7y}{10} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-0.1x=0.7y+610$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-10.

$$x=-10\left(0.7y+610\right)$$

Immultiplika -10 b'\frac{7y}{10}+610.

$$x=-7y-6100$$

Issostitwixxi -7y-6100 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -0.8x+0.5y+920=0.

$$-0.8\left(-7y-6100\right)+0.5y+920=0$$

Immultiplika -0.8 b'-7y-6100.

$$5.6y+4880+0.5y+920=0$$

Żid \frac{28y}{5} ma' \frac{y}{2}.

$$6.1y+4880+920=0$$

Żid 4880 ma' 920.

$$6.1y+5800=0$$

Naqqas 5800 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6.1y=-5800$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6.1, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{58000}{61}$$

Issostitwixxi -\frac{58000}{61} għal y f'x=-7y-6100. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-7\left(-\frac{58000}{61}\right)-6100$$

Immultiplika -7 b'-\frac{58000}{61}.

$$x=\frac{406000}{61}-6100$$

Żid -6100 ma' \frac{406000}{61}.

$$x=\frac{33900}{61}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{33900}{61},y=-\frac{58000}{61}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-0.1x-0.7y-610=0,-0.8x+0.5y+920=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.5}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}&-\frac{-0.7}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}\\-\frac{-0.8}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}&-\frac{0.1}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{61}&-\frac{70}{61}\\-\frac{80}{61}&\frac{10}{61}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{61}\times 610-\frac{70}{61}\left(-920\right)\\-\frac{80}{61}\times 610+\frac{10}{61}\left(-920\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33900}{61}\\-\frac{58000}{61}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{33900}{61},y=-\frac{58000}{61}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-0.1x-0.7y-610=0,-0.8x+0.5y+920=0$$

Biex tagħmel -\frac{x}{10} u -\frac{4x}{5} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-0.8 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-0.1.

$$-0.8\left(-0.1\right)x-0.8\left(-0.7\right)y-0.8\left(-610\right)=0,-0.1\left(-0.8\right)x-0.1\times 0.5y-0.1\times 920=0$$

Issimplifika.

$$0.08x+0.56y+488=0,0.08x-0.05y-92=0$$

Naqqas 0.08x-0.05y-92=0 minn 0.08x+0.56y+488=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$0.08x-0.08x+0.56y+0.05y+488+92=0$$

Żid \frac{2x}{25} ma' -\frac{2x}{25}. \frac{2x}{25} u -\frac{2x}{25} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$0.56y+0.05y+488+92=0$$

Żid \frac{14y}{25} ma' \frac{y}{20}.

$$0.61y+488+92=0$$

Żid 488 ma' 92.

$$0.61y+580=0$$

Naqqas 580 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$0.61y=-580$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'0.61, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{58000}{61}$$

Issostitwixxi -\frac{58000}{61} għal y f'-0.8x+0.5y+920=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-0.8x+0.5\left(-\frac{58000}{61}\right)+920=0$$

Immultiplika 0.5 b'-\frac{58000}{61} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$-0.8x-\frac{29000}{61}+920=0$$

Żid -\frac{29000}{61} ma' 920.

$$-0.8x+\frac{27120}{61}=0$$

Naqqas \frac{27120}{61} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-0.8x=-\frac{27120}{61}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-0.8, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=\frac{33900}{61}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{33900}{61},y=-\frac{58000}{61}$$