Issolvi {l}{text{(1)}8x+4y=16}{text{(2)}2(x-2y)=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (1) } 8 x + 4 y = 16 } \\ { \text { (2) } 2 ( x - 2 y ) = 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x-2y=\frac{4}{2}$$

Iddividi 4 b'2 biex tikseb2.

$$x-2y=2$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$8x+4y=16,x-2y=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$8x+4y=16$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$8x=-4y+16$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-4y+16\right)$$

Immultiplika \frac{1}{8} b'-4y+16.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

Issostitwixxi -\frac{y}{2}+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x-2y=2.

$$-\frac{1}{2}y+2-2y=2$$

Żid -\frac{y}{2} ma' -2y.

$$-\frac{5}{2}y+2=2$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{5}{2}y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{5}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'x=-\frac{1}{2}y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x-2y=\frac{4}{2}$$

Iddividi 4 b'2 biex tikseb2.

$$x-2y=2$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$8x+4y=16,x-2y=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{8\left(-2\right)-4}&-\frac{4}{8\left(-2\right)-4}\\-\frac{1}{8\left(-2\right)-4}&\frac{8}{8\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{20}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 16+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{1}{20}\times 16-\frac{2}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x-2y=\frac{4}{2}$$

Iddividi 4 b'2 biex tikseb2.

$$x-2y=2$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$8x+4y=16,x-2y=2$$

Biex tagħmel 8x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'8.

$$8x+4y=16,8x+8\left(-2\right)y=8\times 2$$

Issimplifika.

$$8x+4y=16,8x-16y=16$$

Naqqas 8x-16y=16 minn 8x+4y=16 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$8x-8x+4y+16y=16-16$$

Żid 8x ma' -8x. 8x u -8x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4y+16y=16-16$$

Żid 4y ma' 16y.

$$20y=16-16$$

Żid 16 ma' -16.

$$20y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'20.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'x-2y=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=0$$